Практическое занятие 28

Тема: Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Цель занятии: При нахождения функции распределения, знать свойства. Определить вероятность нахождении интервала плотности случайных величин.

Вопросы: Функция распределения случайной величины. Чему равна плотность распределения?

Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Решение: Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (), равна приращению функции распределения на этом интервале:

. Положив получим

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х 2 4 7

Р 0, 5 0, 2 0, 3

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение: 1. Если то . Действительно, значений, меньших числа 2, величина Х не принимает. Следовательно, при функция

2.Если то . Действительно, Х может принять значение 2 с вероятностью 0, 5.

3. Если то . Действительно, Х может принять значение 2 с вероятностью 0, 5 и значение 4 с вероятностью 0, 2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0, 5+0, 2=0, 7.

4.Если , то . Действительно, событие достоверно и вероятность его равна единице. Итак, искомая функция распределения имеет вид

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, в), определяется равенством

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Свойства 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е.

Свойства 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от

-∞ до ∞ равен единице: .

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, в), то .

Пример3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Найти плотность распределения .

Решение: Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

Заметим, что при х=0 производная не существует.

Пример 4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу

Решение: Воспользуемся формулой .

По условию, . Следовательно,

Пример 5. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения .

Решение. Используем формулу

Если следовательно,

Если , то .

Если , то

Итак, искомая функция распределения

Рекомендуемая литература: ОЛ[7], [10]