Практическое занятие 24

Тема: Двойные и тройные интегралы

Цель занятий: Знать вычисление двойного и тройного интегралов

Вопросы: Кратные интегралы. Свойства и определение.

1. Случай прямоугольной области.

Двойной интеграл по прямоугольной области вычисляется по формулам

(1)

В формуле (1) интегрирование сначала производится по х при постоянном у, а затем полученный результат интегрируется по у, т.е последовательно вычисляется два определенных интеграла.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл где

Решение: В соответствии с формулой (1)

Вычисляем внутренний интеграл, считая у постоянным:

Вычисляем внешний интеграл, для чего полученную функцию интегрируем по у в пределах от 1 до 2:

Следовательно,

1. Случай криволинейной области. Двойной интеграл по криволинейной области вычисляется по формуле

(2)

Если уравнение кривых, ограничивающих область G, можно написать в виде причем для то двойной интеграл вычисляется по формуле

Пример2. Вычислить двойной интеграл где

Решение: Область G ограничена слева и справа прямыми х=0 и х=1; у=х и у=2-х²- уравнения линии, ограничивающих эту область снизу и сверху, т.е. у₁(х)=х и у₂(х)=2-х² (рис.1)

В соответствии с формулой (2)

Вычисляем внутренний интеграл, считая х постоянным:

Вычисляем внешний интеграл:

Следовательно,

Тройной интеграл

Область интегрирования Т определяется неравенства -непрерывной функция.

Тогда тройной интеграл от функции в области Т вычисляется по формуле

Пример 1. Вычислить тройной интеграл по области G ограниченной плоскостями

Решение:

Сначала вычисляем внутренней интеграл, считая х и у постоянными, затем полученную функцию от х и у интегрируем по у считая х постоянным и полученную функцию от х интегрируем по х.

Рекомендуемая литература: ОЛ[2], [3], [4], [7],