Практическое занятие 23

Цель занятий: Решить дифференциальное уравнения 2-го порядка. Уметь находить корни характеристического уравнения.

Вопросы: 1. Дифференциальные уравнения второго порядка. 2. Общие и частное решение дифференциального уравнения.

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков

1.

2.

3.

Пример 1. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение: Найдем общее решение последовательным интегрированием данного уравнения

или

Воспользуемся начальными условиями:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

Это же решение можно найти и следующим образом, используя сразу заданные начальные условия:

Тема: Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

1. Если то уравнение называется однородным дифференциальным уравнением

второго порядка с постоянными коэффициентами

,

Уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения.В зависимости от корней к₁ и к₂ характеристического уравнения получаем общее решение уравнения:

1. k₁ и k₂ различные действительные число

2.

3. комплексное число

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение: Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение согласно запишется

Пример 2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение примет на основании примет вид

Теперь искомое частное решение найдем из условий

Откуда находим

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение: ,

Тогда согласно формуле

Рекомендуемая литература: ОЛ[2], [3], [4], [7],