Практическое занятие 17,18

Тема: Частные производные первого и высших порядков порядка. Полный дифференциал

Цель занятий: Найти частные производные первого и высших порядков от данной функции. Вычисление экстремума функции.

Вопросы: Определение частной производной. Формулы частного производного и дифференциала высших порядков.

Частной производной от функции по независимой переменной х называется конечный предел

вычисленный при постоянном у.

Частной производной по у называется конечный предел

вычисленный при постоянном х

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1. Найти и

Рассматривая у как постоянную величину, получим

Рассматривая х как постоянную, найдем

Пример 2. Найти и

Полным приращением функции в точке называется разность , где и - произвольные приращение аргументов.

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов вычисляется по формуле

При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства

Пример 3.

Решение. Найдем частные производные

,

Следовательно,

Пример 4. Вычислить приближенно , исходя из значения функции при

Решение. Значение функции при есть .

Найдем приращение функции при :

Следовательно, .

Тема: Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Частные производные второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго и третьего порядков: