Практическое занятие 5,6

Тема: Плоскость и прямая в пространстве.

Цель занятий: Уметь приводить уравнение плоскости к нормальному виду. Найти угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости. Уравнение плоскости через три точки.

Вопросы: Общее уравнение плоскости и прямой. Условие параллельности и перпендикулярности плоскости и прямой. Нормирующий множитель.

1. Уравнение плоскости

2. Нормирующий множитель , где

3. Угол между плоскостями

Условие: а) ||

б)

4. Расстояние от точки до плоскости

5. Уравнение плоскости проходящей через три точки , ,

6. Уравнение плоскости в отрезках

7. Уравнение плоскости проходящей через точку и перпендикулярный

вектору ,

Примеры 1. Даны плоскость и точка

Найти расстояние от точки М до данной плоскости.

Решение: ,

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три

точки заданные точки и

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки заданные

точки.

Разложим определитель по 1-ой строке:

Пример 3. Найти угол между плоскостями:

и

Решение: Воспользуемся формулой (3) получаем

, .

Рекомендуемая литература: ОЛ [1], [2], [4], [6], ДЛ[1]

8. Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей

9. Уравнение прямой, проходящей через две точки

10. Каноническое уравнение прямой, проходящую через точку и параллельную вектору

11. Параметрическое уравнение прямой

12. Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями определяется по формуле

условие параллельности двух прямых:

условие перпендикулярности двух прямых:

13. Угол между прямой и плоскостью

определяется по формуле:

условие параллельности прямой и плоскости:

условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Пример 4. Найти параметрические уравнения прямой:

1) проходящей через точку и параллельной вектору

2) проходящей через точку и

Решение: 1) Из условия задачи и найдем параметрическое уравнения прямой ;

приравняв уравнение к параметру получим

2) Составим уравнение прямой проходящей через две точки

Пример 5. Найти точки пересечения плоскости с прямой

Решение: Для нахождения точки пересечения, уравнение прямой приведем к параметрическому виду отсюда

Подставив в уравнение плоскости найдем параметр t

полученное значение t, подставив в параметрическое уравнение прямой получим точку пересечения

Пример 6. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение: где

Рекомендуемая литература: ОЛ [1], [2], [4], [6], ДЛ[1]