Вычисление объема тела

1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярно оси Ох, может быть выражена как функция от х, т.е. в виде , то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ох плоскостями , находится по формул

2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле

Если фигура, ограниченная кривыми и прямыми вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

Пример 5. Вычислить объем тела, образованного вращением

вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

Решение. Такое тело называется параболоидом вращения. Применив

формулу, получим

Пример 6. Вычислить объем тела, образованного вращением

вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

Решение. Решая систему находим точки пересечения

данных линий: . Ввиду симметричности

вращающейся фигуры вычислим объем в пределах от 0 до 1 и результат удвоим.

Искомый объем равен разности объемов тел, образованных при

вращении вокруг оси Ох фигур. Таким образом,

Вопросы для самопроверки

1. Определённый интеграл. Задача о площади криволинейной трапеции.

2. Свойства определённого интеграла.

3. Метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям в определённом интеграле.

4. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.

5. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

6. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Рекомендуемая литература: ОЛ [3], [5], [6], [8]