Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и функции и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функция равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю:

Теорема. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами: ≠ .

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

Теорема. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть и две дифференцируемый функции, образующие сложную функцию По теореме о производной сложной функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на получаем

Но и Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Сравнивая формулы и видим, что первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула по внешнему виду совпадает с формулой но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле - независимая переменная, следовательно, во второй формуле и есть функция от поэтому; вообще говоря, ≠

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например,