Система оценивания

Ответы к заданиям 1–9

Каждое из заданий 1–9 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается
1 баллом.

Решения и критерии оценивания заданий 10–16

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 10–16, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. а) Преобразуем обе части уравнения:

; ; ,

откуда или .

Из уравнения находим: , где .

Из уравнения находим: , где .

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку .

Получаем числа: ; ; .

Ответ: а) , ; , .

б) ; ; .

Все рёбра правильной треугольной призмы имеют длину . Точки и — середины рёбер и соответственно.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями и .

Решение. а) Пусть точка — середина . Тогда

.

С другой стороны,

,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным с прямым углом .

б) Проведём перпендикуляр к прямой . Тогда и . Следовательно, . Поэтому — проекция на плоскость .

Прямая перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Следовательно, угол — линейный угол искомого угла.

Длина равна половине высоты треугольника , то есть . Поэтому .

Следовательно, .

Ответ: б) .

Решите неравенство .

Решение. Левая часть неравенства определена при

При получаем , , поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит .

При получаем , , поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит .

Таким образом, решение исходного неравенства и .

Ответ: .

Две окружности касаются внешним образом в точке Прямая касается первой окружности в точке , а второй — в точке Прямая пересекает первую окружность в точке прямая пересекает вторую окружность в точке

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение. а) Обозначим центры окружностей и соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке пересекает в точке По свойству касательных, проведённых из одной точки, и Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Вписанный угол прямой, поэтому он опирается на диаметр Значит, Аналогично, получаем, что Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4,
а вторая — радиус 1.

Треугольники и подобны, . Пусть тогда

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, то есть Аналогично, Площадь трапеции равна .

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к перпендикуляр равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника :

.

Тогда

.

Следовательно, , откуда и

Ответ: 3, 2.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение. Пусть сумма кредита равна , ежегодный платеж равен рублей, а годовые составляют %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент После первой выплаты сумма долга составит: После второй выплаты сумма долга составит:

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому , откуда .

При и получаем: и

(рублей).

Ответ: рублей.

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение. Если , то уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса , а если , то оно задаёт окружность с центром в точке того же радиуса (см. рис.).

При положительных значениях уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как , то .

При или окружности и не пересекаются.

При окружности и имеют две общие точки.

При или окружности и касаются.

Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как , то .

При или окружности и не пересекаются.

При окружности и имеют две общие точки.

При или окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа и .

Ответ: .

-

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение. Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому .

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому — количество целых чисел — делится на 4. По условию , поэтому Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим в правую часть равенства : , откуда . Так как , получаем: то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число и два раза написан 0. Тогда ; указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 26.12.2013 г. №1400 зарегистрирован Минюстом России 03.02.2014 г. № 31205),

«61. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развёрнутым ответом...»;

«62. В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

1. 1) Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий, составляет 2 и более баллов.

В этом случае третий эксперт проверяет только ответ на то задание, которое было оценено двумя экспертами со столь существенным расхождением.

2. 2) Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, при наличии расхождений хотя бы в двух заданиях.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

[1] Здесь и далее – распознавать конкретные примеры общих понятий по характерным признакам, выполнять действия в соответствии с определением и простейшими свойствами понятий, конкретизировать примерами общие понятия.