Факторный анализ

Цель работы: ознакомиться с основами факторного анализом данных.

В факторном анализе предполагается, что каждый элемент матрицы исходных данных является результатом воздействия некоторого числа m гипотетических общих факторов и одного характерного фактора.

Факторы, связанные с значимыми коэффициентами веса более, чем с одной переменной, называются общими.

Пример. Получены результаты измерения содержания металлов в пробах почвогрунтов на территориях четырёх машиностроительных предприятий. Код объекта исследования задан в столбце Код.

Выполнить факторный анализ.

Выполнение

На начальном этапе выделим все возможные скрытые факторы.

Получим корреляционную матрицу исходных данных (см. занятие 11).

Заменим полученную матрицу редуцированной, воспользовавшись методом большего коэффициента корреляции. В этом случае в строке (или столбце) находится наибольший по абсолютной величине коэффициент и принимается в качестве общности h_j ² и записывается на главной диагонали корреляционной матрицы вместо 1.

Вычислим собственные числа полученной матрицы: l₁ = 2, 992; l₂ = 1, 061; l₃ =0, 554; l₄ = 0, 056; l₅ = -0, 013; l₆ = -0, 158. Оставим для описания объекта два первых фактора и вычислим для l₁ = 2, 992 и l₂ = 1, 061 собственные векторы и запишем их координаты в матрицу (первый столбец соответствует первому вектору, второй столбец – второму):

L =

Рассчитаем матрицу факторных нагрузок по формуле: Матрица собственных значений имеет вид:

l=

Тогда

.

Анализ факторных нагрузок показал, что загрязнение контролируют два фактора. Главный фактор определяет уровень накопления металлов Ni, Co, Mo, W. Второй фактор связан практически с одним элементом – кобальтом.

Построим график факторных нагрузок.

Рассчитаем вклады общего и характерного факторов в дисперсию признаков. Вклад первого признака в дисперсию первого

фактора составит a ₁₁²=0, 915²=0, 84, а его вклад во второй фактор – a₁₂²=0, 137²=0, 019. Следовательно, общность . Тогда нагрузка первого признака на характерный фактор и т. д.