Начертите треугольник ABC и отметьте точку О вне его (как на рисунке 11). Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно точки О.

На рисунке 7 укажите центр симметрии и какие-нибудь пары центрально-симметричных точек.

Скопируйте рисунок 8 в тетрадь и отметьте точки, симметричные точкам М, N, К относительно точки О.

3. Скопируйте рисунок 9 и постройте фигуру, симметричную отрезку АВ относительно точки C:

Проверьте себя.
Понятно, что фигура, симметричная отрезку АВ, — это отрезок. Но тогда нам достаточно знать, где расположены концы этого нового отрезка, т. е. достаточно построить точки, симметричные точкам А и В относительно точки О. На рисунке 10 отрезки АВ и А₁В₁ симметричны относительно точки О.

Начертите треугольник ABC и отметьте точку О вне его (как на рисунке 11). Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно точки О.

5. Начертите треугольник KMN и постройте фигуру, симметричную этому треугольнику относительно:
а) его вершины — точки М;
б) точки О — середины стороны MN.

6. Постройте фигуру, симметричную:
а) лучу ОМ относительно точки О; запишите, какая точка симметрична точке О;
б) лучу ОМ относительно произвольной точки А, не принадлежащей этому лучу;
в) прямой АВ относительно точки О, не принадлежащей этой прямой;
г) прямой АВ относительно точки О, принадлежащей этой прямой; запишите, какая точка симметрична точке О.
В каждом случае охарактеризуйте взаимное расположение центрально-симметричных фигур.

7. Подумайте, какая фигура симметрична углу ABC относительно его вершины — точки В. Выполните задания:
а) постройте фигуру, симметричную углу ABC относительно точки В;
б) постройте фигуру, симметричную углу ABC относительно точки М, лежащей на биссектрисе этого угла.

8. На рисунке 12 изображены различные геометрические фигуры и показано, какое положение займет прямоугольник, если его повернуть на 90° вокруг точки пересечения его диагоналей. Если же продолжить этот процесс и повернуть прямоугольник на 180°, то он сольется (совпадет) со своим первоначальным изображением. Такую точку, при повороте вокруг которой на 180° фигура совпадает со своим первоначальным изображением, называют центром симметрии фигуры, а саму фигуру называют центрально-симметричной. Укажите центры симметрии остальных фигур.

На рисунке 13 изображены различные геометрические фигуры. Выберите из них те, которые имеют центр симметрии, и изобразите их в тетради. Отметьте центр симметрии и точки, симметричные отмеченным точкам, там, где это возможно.

Укажите, какие фигуры имеют центр симметрии (рис. 14).

Задача 8:

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

В этой игре выигрывает первый, независимо от размеров стола! Первым ходом он кладет пятак так, чтобы центры монеты и стола совпали. После этого на каждый ход второго игрока начинающий отвечает симметрично относительно центра стола. Отметим, что при такой стратегии после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, он побеждает.

Задача 9:

Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Решение задачи легко провести, применяя осевую симметрию шахматной доски. За ось симметрии можно взять прямую, разделяющую четвертую и пятую горизонтали. Симметричные относительно нее поля имеют разный цвет, и, тем самым, слон, поставленный на одно из них, не препятствует ходу на другое. Итак, в этой игре выигрывает второй игрок.

Задача 10:

Имеется две кучки камней – по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

Решение: В этой игре второй игрок побеждает при помощи симметричной стратегии: каждым своим ходом он должен брать столько же камней, сколько предыдущим ходом взял первый игрок, но из другой кучки. Таким образом, у второго игрока всегда есть ход.

Задача 11:

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает второй. Можно использовать и центральную, и осевую симметрию.

Задача 12:

Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает первый. Первый ход в центр доски, а затем – центральная симметрия.

Задача 13:

а) Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо побить хотя бы одну небитую клетку. Слон бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Та же игра, но с ладьями.

Решение:

В обоих пунктах выигрывает первый игрок. а) Осевая симметрия; б) Центральная симметрия. Решающим соображением является то, что если два симметричных поля не побиты, то поля, с которых оба они бьются, также не побиты.

Задача 14:

Дана клетчатая доска 10 × 10. За ход разрешается покрыть любые 2 соседние клетки доминошкой (прямоугольником 1 × 2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает второй. Центральная симметрия.

Задача 15:

В каждой клетке доски 11 × 11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он снимает центральную шашку, а потом играет центрально-симметрично.

Задача 16:

Имеются две кучки камней: в одной – 30, в другой – 20. За ход разрешается брать любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он уравнивает количество камней в кучках, после чего играет как в задаче 10.

Задача 17:

На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он проводит хорду, по обе стороны от которой расположено по 9 вершин. После этого, на каждый ход второго он отвечает аналогичным ходом по другую сторону от этой хорды.

Задача 18:

У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.

Решение:

В обоих пунктах выигрывает второй игрок. Независимо от хода первого игрока, второй может после своего хода оставить две одинаковые по длине цепочки лепестков. Дальше – симметрия.

Задача 19:

Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4 × 4 × 4; б) 4 × 4 × 3; в) 4 × 3 × 3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

а) и б) – выигрывает второй. Центральная симметрия. в) Выигрывает первый. Первым ходом он протыкает ряд, состоящий из центральных кубиков четырех слоев 3 × 3. Дальше – центральная симметрия.

Задача 20:

Двое по очереди разламывают шоколадку 5 × 10. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку 1 × 1.

Решение:

В этой игре проигрывает тот, кто отломит кусок ширины 1. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он разламывает шоколадку на два куска 5 × 5. Дальше – симметрия.

Задача 21:

Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник – нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов – это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше – очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он ставит крестик в центральную клетку. Затем после каждого хода второго игрока первый ставит крестик в центрально-симметричную клетку.

Определение. Пусть на плоскости задан вектор . Параллельным переносом называется такое преобразование плоскости, при котором каждой точке А этой плоскости ставится в соответствие такая точка В, что Вектор при этом называется вектором смещения.

Свойства параллельного переноса:

1). При параллельном переносе прямая переходит в прямую;

2). При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок;

3). При параллельном переносе угол переходит в равный ему угол;

4). Параллельный перенос является движением.

Рассмотрим примеры применения параллельного переноса.

ПРИМЕР 8. Построить трапецию по данным четырем сторонам.

Анализ. Допустим, что трапеция АВСД искомая. Перенесем АВ параллельно на вектор , получим отрезок СЕ (рис. 13) и треугольник ЕСД, в котором известны все три стороны. К треугольнику ЕСД достаточно достроить параллелограмм АВСЕ. Для этого известны две его стороны СЕ и АЕ и Ð ВАЕ.

Построение. Строим треугольник СЕД по трем сторонам, две из которых СЕ и СД являются сторонами трапеции, а третья – разностью оснований трапеции. Продолжим ДЕ за точку Е и на продолжении от точки Е отложим отрезок АЕ, равный меньшему основанию трапеции ВС. Построим угол с вершиной в точке А и равный Ð СЕД и на второй стороне отложим АВ=СЕ. Соединим В и С и получим трапецию.

Доказательство непосредственно следует из построения.

Исследование. Задача имеет решение или нет в зависимости от того, можно ли построить треугольник СЕД. Если решение есть, то оно одно.

ПРИМЕР 9. Даны две непересекающиеся окружности разных радиусов. Провести к ним общую внешнюю касательную.

Анализ. Предположим, задача решена (рис.15). Пусть О – центр меньшей окружности радиуса r и О₁ – большей радиуса R и АВ их общая касательная. Если перенести АВ параллельно на вектор , то он займет положение ОС, причем С – точка касания прямой ОС с окружностью радиуса R-r с центром в точке О₁. Отсюда вытекает построение.

Построение. Строим окружность радиуса R-r с центром в О₁ – центре большей окружности. Из точки О – центра меньшей окружности проводим касательную к новой окружности. Пусть С – точка касания. Проведя радиус О₁С и продолжив его до пересечения с большей окружностью, получим точку А. Проведя через А прямую, параллельную О₁С, получим искомую касательную.

Доказательство очевидно.

Исследование. Задача всегда имеет два решения.