Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Перевод числа из исходной позиционной системы счисления (ПСС) в новую осуществляется расчетом нового значения этого числа, т.е. его значения в новой ПСС. В расчетах участвуют:

• исходное число;
• основание новой ПСС.

Расчеты производятся по правилам арифметики исходной ПСС.

Различают алгоритмы перевода:

• целых чисел;
• правильных дробей;
• действительных чисел.

Для перевода целого числа необходимо последовательно делить число и получаемые целые частные на основание новой ПСС до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя. Последнее частное и полученные остатки являются цифрами числа в новой ПСС. Число в новой ПСС составляется из этих цифр, начиная с последней цифры.

Пример. Перевести число из исходной ПСС (т.е. десятичной СС) в двоичную.

Т.о.,

Для перевода правильной дроби необходимо последовательно умножать число и получаемые дробные части произведения на основание новой ПСС до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равное 0 или не будет достигнута требуемая точность перевода. Полученные целые части произведений являются цифрами дробной части числа в новой ПСС. Дробная часть числа в новой ПСС составляется из этих цифр, начиная с первой цифры.

Пример. Перевести число из исходной ПСС (т.е. десятичной СС) в двоичную.

Т.о.,

Т.к. любое действительное число можно представить как сумму целого числа и правильной дроби, то перевод этого числа в новую ПСС осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть числа (по алгоритму перевода целых чисел), отдельно − дробная часть числа (по алгоритму перевода правильных дробей). Полученные значения складываются.

Пример. Перевести число из исходной ПСС (т.е. десятичной СС) в двоичную. Представим число как сумму целого числа и правильной дроби: .

Т.о.,

Возврат к исходной ПСС осуществляется путем представления нового числа в виде полинома и вычислении его значения по правилам исходной ПСС.

Пример. Перевести числа предыдущих примеров из двоичной ПСС в исходную, десятичную.

При переводе чисел из двоичной ПСС в ПСС с основанием, кратным 2-м, и обратно используются более простые алгоритмы. Проиллюстрируем это на примере восьмеричной и шестнадцатеричной ПСС.

Т.к. , то каждая цифра восьмеричной ПСС кодируется триадой двоичных цифр:

Т.к. , то каждая цифра шестнадцатеричной ПСС кодируется тетрадой двоичных цифр:

При переводе числа из 8-ной (16-ной) ПСС в 2-ную каждую цифру исходного числа заменяют соответствующей триадой (тетрадой).

Пример. Перевести числа из исходной в 2-ную ПСС.

Перевод двоичного числа в 8-ную (16-ную) ПСС также выполняется по триадам (тетрадам). Двоичное число разбивают на триады (тетрады): целую часть числа − справа налево, дробную − слева направо. Если в последних группах окажется меньше 3-х (4-х) цифр, то их дополняют нулями. Полученные триады (тетрады) заменяют цифрами соответствующей ПСС.

Пример. Перевести числа из 2-ной в указанную ПСС.