Ділення|поділка,розподіл,поділ| комплексних чисел.

Відповідно до визначення ділення|поділки, розподілу, поділу| дійсних чисел встановлюється наступне|таке| визначення.

Визначення. Розділити комплексне число а + bi на комплексне число a’ + b’i – означає|значить| знайти таке число x + yi, яке, будучи помножено на дільника, дасть ділиме.

Якщо дільник не рівний нулю, то ділення|поділка, розподіл, поділ| завжди можливе, і приватне єдино (доказ дивися в зауваженні 2). На практиці приватне найзручніше знаходити|находити| таким чином.

Приклад|зразок| 1. Знайти приватне (7 – 4i): (3 + 2i).

Записавши дріб (7 – 4i)/(3 + 2i), розширюємо її на число 3 – 2i, зв'язане з 3 + 2i. Одержимо|отримаємо|:

((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

Приклад|зразок| 1 | параграфа дає перевірку.

Приклад|зразок| 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)(-3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0, 56 – 0.92i.

Щоб довести, що права частина|частка| дійсно є|з'являється, являється| приватною, досить множити її a’ + b’. Одержимо|отримаємо| а + bi.

З а м е ч а н і е 1. Формулу (1) було б прийняти за визначення ділення|поділки, розподілу, поділу|.

З а м е ч а н і е 2. Формулу (1) можна вивести ще таким чином. Згідно визначенню, ми повинні мати: (a’ + b’i)(x + yi) = а + bi. Означає|значить|, повинні задовольнятися наступні|слідуючі| два рівняння:

a’x – b’y = а; b’x + a’y = b.

якщо a’/b’ = -b’/a’, тобто якщо a’2 ⁺ b’2 = 0.

Залишається розглянути|розгледіти| випадок a’² + b’ ² = 0. Він можливий лише тоді, коли a’ = 0 і b’ = 0, тобто коли дільник a’ + b’i рівний нулю. Якщо при цьому і ділиме а + bi рівне нулю, то приватне невизначене. Якщо ж ділиме не рівне нулю, то приватне не існує (говорять, що воно рівне нескінченності).

Завдання|задавання| для перевірки знань:

1. Складання комплексних чисел

2. Віднімання комплексних чисел

3. Множення комплексних чисел

4. Ділення|поділка, розподіл, поділ| комплексних чисел

Література:

4. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.220-223

Розділ: «Комплексні числа»

Матеріал для самостійного вивчення

Тема: Застосування комплексних чисел в електротехнічних розрахунках

Ціль: Розглянути зі студентамизастосування комплексних чисел в електротехнічних розрахунках

План: 1. Застосування до опису коливань.

2. Поняття комплексної напруги й комплексної сили.

Застосування до опису коливань.

Функцію

(1)

Зручно застосувати для дослідження гармонійних коливань. Для цього треба помітити, що величина (1) має модуль М и аргумент , тобто вона представима вектором постійної довжини, що рівномірно обертається з кутовою швидкістю .

Розглянемо, наприклад, накладення коливань, що відбуваються з однаковою частотою. Нехай треба скласти дві величини: і . Для цього введемо відповідні комплексні величини й , у яких і будуть служити мнимими частинами. Вектори й рівномірно обертаються з кутовою швидкістю ; виходить, і вектор рівномірно обертається з тією же швидкістю й тому його можна представити у вигляді (1). Щоб знайти М и , досить розглянути картину в момент t=0, з її, проектуючи на осі координат, одержимо

(2)

Взявши мниму частину від , ми приходимо остаточно до висновку, що , де М и перебувають із рівностей (2).

Аналогічний результат виходить при накладенні будь-якого числа гармонійних коливань, що відбуваються з однаковою частотою.

Перевага експоненти (1) перед тригонометричними функціями особливо проявляється при диференціюванні:

(3)

У цьому випадку виходить вектор, що також рівномірно обертається з кутовою швидкістю , але випереджальний U на 90º і модуль, що має, у раз більший. При подальших диференціюваннях ці поворот і розтягання повторюються.

Покажемо застосування функцій виду (1) до розрахунку сталого струму в ланцюзі з активним опором і індуктивністю, якщо до ланцюга підключене джерело напруги, що міняється за гармонійним законом . При цьому в ланцюзі виникає струм, що також міняється за гармонійним законом , однак і нам заздалегідь не відомі. Дорівнюючи сумі падінь напруг на R і L на основі відомих у фізику законів, одержуємо основне рівняння задачі

Введемо поняття комплексної напруги й комплексної сили струму по формулах , ; «справжні» напруга й сила струму служать мнимими частинами цих виражень. Для одержання j треба вирішити рівняння , від відповіді взяти мниму частину. Відповідно до формули (3) одержуємо , тобто (4)

Ми бачимо, що індуктивність L можна витлумачити як якийсь опір, чисельно рівне ; це значення називається гаданим опором або імпедансом елемента L. Записавши в показовій формі з (4) одержимо

Завдання для перевірки знань:

1. Застосування до опису коливань.

2. Поняття комплексної напруги й комплексної сили

Література:

5. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.223-224