Угода про комплексні числа.

Про комплексні числа.

У зв'язку з розвитком алгебри потрібно було ввести|запровадити| понад раніше|до| відомих позитивних і негативних|заперечних| чисел числа нового роду. Вони і називаються комплексними.

Комплексне число має вигляд|вид| а + bi; тут а і b – дійсні числа, а i – число нового роду, зване уявною одиницею. “Уявні” числа складають приватний вид комплексних чисел (коли а = 0). З іншого боку, і дійсні числа є|з'являються, являються| приватним видом комплексних чисел (коли b = 0).

Дійсне число а назвемо|накликатимемо| абсцисою комплексного числа а + bi; дійсне число b – ординатою комплексного числа

а + bi. Основна властивість числа i полягає в тому, що добуток|добуток| i*i рівно –1, тобто

i²= -1. (1)

Довгий час не вдавалося знайти такі фізичні величини, над якими можна виконувати дії, підпорядковані тим же правилам, що і дії над комплексними числами – зокрема правилу (1). Звідси назви: “уявна одиниця”, “уявне число” і т.п. В даний час|нині| відомий цілий ряд|лава, низка| таких фізичних величин, і комплексні числа широко застосовуються не тільки|не лише| в математиці, але також і у фізиці і техніці.

Залишимо осторонь|збоку| питання про геометричний або фізичний сенс|зміст, рацію| числа i, тому що|бо| в різних областях науки цей сенс|зміст, рація| різний.

Правило кожної дії над комплексними числами виводиться з|із| визначення цієї дії. Але|та| визначення дій над комплексними числами не вигадані довільно, а встановлені|установлені| з|із| таким розрахунком, щоб узгоджувалися з|із| правилами дій над дійсними числами. Адже комплексні числа повинні розглядатися|розглядуватися| не у відриві від дійсних, а спільно з|із| ними.

Угода про комплексні числа.

1. Дійсне число а записується|занотовується| також у вигляді|виді| а + 0i (або а – 0i).

П р і м е р ы. Запис 3 + 0i позначає|значить| те ж, що запис 3. Запис –2 + 0i означає –2.

2. Комплексне число вигляду|виду| 0 + bi називається “чисто уявним”. Запис bi позначає|значить| те ж, що 0 + bi.

3. Два комплексних а + bi a’ + b’i вважаються|лічаться| рівними, якщо у|в, біля| них відповідно рівні абсциси і ординати, тобто Якщо

а = a’, b = b’. Інакше комплексні числа не рівні. Це визначення підказується наступним|таким| міркуванням|тямою|. Якби могло існувати, скажімо, така рівність:

2 + 5i = 8 + 2i, то за правилами алгебри ми мали б i = 2, тоді як i не повинне тат дійсним числом.

З а м е ч а н і е. Ми ще не визначили, що таке з|із| л про ж е н і е комплексних чисел. Тому, строго|суворо| кажучи, ми ще не в праві стверджувати, що число 2 + 5i є сума чисел 2 і 5i. Точніше було б сказати, що у|в, біля| нас є пара дійсних чисел: 2 (абсциса) і 5 (ордината); ці числа породжують число нового роду, що умовно позначається|значиться| 5 + 7i.

Завдання|задавання| для перевірки знань:

1. Дайте визначення комплексного числа.

2. Що таке уявна одиниця?

3. Яке комплексне число називається нульовим?

4. Які комплексні числа називаються рівними?

Література:

1. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.219-221

Розділ: «Комплексні числа»

Матеріал для самостійного вивчення

Тема: Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Мета|ціль|: Розглянути|розгледіти| із|із| студентами геометричну інтерпретацію комплексних чисел

План: 1. Зображення комплексних чисел на координатній площині|плоскості|

2. Модуль і аргумент комплексного числа

3. Геометричний сенс|зміст, рація| складання і віднімання комплексних чисел