Колебания математического маятника

МОУ «Физико-технический лицей №1» г. Саратова

Ученица 10-4 класса

Егорова Алла

7 октября 2009г.

Цель работы: изучить гармонические колебания на примере колебаний математического маятника, проверить экспериментально зависимость периода его колебания от длины и определить с помощью него ускорение свободного падения.

Оборудование: математический маятник, представляющий собой груз, подвешенный на тонкой длинной нити.

Схема установки:

Теоретическое положение:

Среди разнообразных физических явлений широко распространены колебания. Общая черта всех колебательных движений состоит в том, что они представляют движения, многократно повторяющиеся через определённые промежутки времени.

Во всех случаях, когда на тело действует сила, подчиняющаяся закону , оно совершает колебательное движение. Возникающие под действием этой силы колебания называются гармоническими. Смещение из положения равновесия колеблющегося тела имеет вид:

, и, в зависимости от времени, изменяется по закону косинуса или синуса.

Величина А называется амплитудой колебания и представляет собой максимальное отклонение от положения равновесия, - круговая частота колебания, - она связана с периодом, то есть временем одного полного колебания , соотношением:

Гармонические колебания – это частный вид колебательного движения, он очень важен, т.к. чрезвычайно часто встречается в самых различных колебательных системах. Колебание, близкое к гармоническому, можно осуществить, заставив колебаться груз, подвешенный на пружине.

Вторым простейшим примером колебательной системы является маятник. Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса.

Рассмотрим колебания математического маятника, представляющего собой небольшое массивное тело, подвешенное на столь длинной нити, что размерами тела по сравнению с длинной нити можно пренебречь, а массу тела считать сосредоточенной в точке.

Ясно, что если заставить груз качаться, то движение этого груза будет колебательным, но нет никакой уверенности, что удовлетворяется главное требование , то есть что колебание будет гармоническим.

На рисунке показаны силы, действующие на груз маятника, выведенного из положения равновесия. Сила тяжести разбита на две составляющие: радикальную, направленную вдоль нити, и тангенциальную, направленную по касательной к линии движения.

Тангенциальная составляющая направлена в сторону положения равновесия, она стремиться восстановить это положение. Поэтому её часто называют возвращающей силой:

Однако для малых углов , и в этом случае

Теперь закон изменения силы имеет вид: , с коэффициентом пропорциональности

Поэтому период колебаний маятника при малых углах отклонения:

Из формулы следует, что период колебаний маятника не зависит от массы груза. Поэтому для данного положения на Земле и, таким образом, для определённого значения g, период зависит только от длины подвеса L. В частности, в той степени, в какой справедливо приближение , период колебаний не зависит от амплитуды.

Описание лабораторной установки: маятник представляет собой гирьку, подвешенную на длинной тонкой нити. За длину маятника принимается расстояние от точки подвеса до центра шарика. Свободный конец нити зажат в подвесе, закреплённом в зажиме штатива. Время качаний определяется секундомером.

Рассмотрим несколько случаев:

1) Проверим зависимость периода колебаний маятника от значения амплитуды А при неизменных массе грузов m и длине L.

2) Проверим зависимость периода колебаний маятника от значения длины маятника L при неизменных массе грузов m и такой амплитуде L, что период колебаний от неё не зависит.

3) Проверим зависимость периода колебаний маятника от массы подвешенного груза m при неизменных дине маятника L и значения амплитуды А.

Обработка результатов:

1) Среднее значение периода колебаний рассчитаем по формуле:

Погрешность результатов рассчитаем по формуле:

2) При проверке независимости периода колебаний маятника от значения амплитуды, находится такая величина , при которой выполняется соотношение:

Это значит, что при амплитуде колебаний, большей чем период колебаний зависит от амплитуды.

Запишем полученные результаты в Таблицу 1

№			A	6T	T
1.				10.00	1.667	1.665
2.	9.99	1.665
3.	9.99	1.665
1.		10.00	1.667	1.666
2.	9.93	1.665
3.	10.00	1.665
1.		10.02	1.667	1.667
2.	10.00	1.667
3.	9.99	1.665

Вывод: при малых углах отклонения груза от положения равновесия, период колебаний остаётся постоянным.

1) Запишем результаты в Таблицу 2:

№	A			6T	T
1.				8.45	1.408	1.325
2.	8.43	1.405
3.	8.48	1.413
1.		9.28	1.546	1.546
2.	9.29	1.548
3.	9.27	1.545
1.		10.00	1.667	1.666
2.	9.93	1.665
3.	10.00	1.665

Вывод: период колебаний маятника зависит от его длины, чем она больше, тем больше и период колебаний.

При проверке зависимости периода колебания маятника от значения длины маятника определяется соотношением:

Определим систематическую погрешность данного выражения.

Систематическая погрешность величины

Вычисляется по формуле

, где

Систематическая погрешность величины

Вычисляется по формуле:

, где

Таким образом, выполняется равенство:

Результаты вычислений проверяются сравнением пар экспериментальных данных Таблицы 2 с учётом вычислений систематических погрешностей.

1)Проверим независимость периода колебаний маятника от массы подвешенного груза. Запишем полученные результаты в Таблицу 3

№		А		6T	T
1.				9.28	1.546	1.546
2.	9.29	1.568
3.	9.27	1.545
1.		9.24	1.54	1.543
2.	9.29	1.548
3.	9.24	1.54
1.		9.24	1.4	1.540
2.	9.23	1.53
3.	9.23	1.53

Вывод: период колебаний не зависит от массы подвешенного груза.

5) С помощью таблицы 2 определим ускорение свободного падения . Для этого воспользуемся формулой:

№
1.	0.5	1.325	11.2490	10.374	0.8750	0.5824
2.	0.6	1.546	9.9158	0.4582
3.	0.7	1.666	9.9600	0.4140

Вычисления:

Окончательный ответ:

Вывод по работе:

В ходе работы было выяснено, что период колебания математического маятника не зависит от амплитуды (при малых углах) и массы подвешенного груза, но зависит от длины маятника. Так же с помощью маятника было определено ускорение свободного падения.