Градиент, дивергенция и ротор

Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются градиент (grad) скалярного поля, дивергенция (div) и ротор (rot) векторного поля.

Определение 3: Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x, y, z) называется вектор

Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора. О производных функии мы писали в предыдущих статьях: Производная функции, Практическое использование понятия: производная функции.

Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр

Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор

который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

Операторы grad, div, rot называются основными операторами теории поля.

В качестве примеров использования операторов градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля приведем формулу связи напряженности и потенциала электростатического поля: и систему уравнений Максвелла для стационарного электромагнитного поля:

1)

2)

3)

4)

В математической и особенно физической литературе наряду с введенными операторами широко используется символический векторный дифференциальный оператор набла (оператор Гамильтона). Правила работы с оператором Гамильтона такие же, как и с обычными векторами. Выразим операторы поля через оператор Гамильтона. Вычисляя произведение вектора на скалярную функцию u, скалярное и векторное произведения вектора на вектор , получим формулы