Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Случай прямоугольника






Теорема 6. Пусть для функции f (x, y) в прямоугольнике R = [ axb ] × [ cyd ] существует двойной интеграл .

Пусть далее для каждого x из сегмента axb существует однократный интеграл

(12)

Тогда существует повторный интеграл

и справедливо равенство

(13)

Доказательство. Разобъем прямоугольник R с помощью точек a = x 0 < x 1 < x 2 <... < xn = b и c = y 0 < y 1 < y 2 <... < yp = d на n · p частичных прямоугольников

Rkl = [ xk -1xxk ] × [ yl -1yyl ]
(k = 1, 2,..., n; l = 1, 2,..., p).

Положим Δ xk = xk - xk -1, Δ yl = yl - yl -1 и обозначим через Mkl и mkl точные грани функции f (x, y) на частичном прямоугольнике Rkl. Тогда всюду на этом прямоугольнике

mklf (x, y) ≤ Mkl. (14)

Положим в этом неравенстве x = ξ k, где ξ k - произвольная точка сегмента [ xk -1, xk ], и после этого проинтегрируем (14) по y в пределах yl -1 до yl. Получим

(15)

Суммируя (15) по всем l от 1 до p и используя обозначение (12), будем иметь

(16)

Далее умножим (16) на Δ xk и просуммируем по всем k от 1 до n. Получим

(17)

Пусть наибольший диаметр Δ частичных прямоугольников стремится к нулю. Тогда и наибольшая из длин Δ xk стремится к нулю. Обрамляющие члены в (17), представляющие собой нижнюю и вернюю суммы, стремятся при этом к двойному интегралу .

Стало быть, существует предел и среднего члена в (17), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению однократного интеграла равен

Тем самым доказано существование повторного интеграла и равенство (13). Теорема доказана.

Замечание. В теореме 6 можно поменять x и y ролями, т. е. моно предположить существование двойного интеграла и существование для любого y из сегмента cyd однократного интеграла

Тогда теорема будет утвердать существование повторного интеграла

и равенство

(18)






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.