Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами

Признак Даламбера:

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(7)

и пусть существует предел При p< 1 ряд (7) сходится, при p> 1 ряд (7) расходится.

Доказательство:

По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³ N выполняется условие

или p-E< (10)

Пусть сначала p< 1. Выберем Е так, что p+E=q< 1. Для всех n³ N имеем … или

или

(11)

Рассмотрим ряды:

(12)

. (13)

Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.

Пусть теперь p> 1. Выберем Е так, что p-E> 1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³ N выполняется или un+1> un, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому un¹ 0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Замечания:

1. Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то un¹ 0.

2. При р=1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно применять другие признаки сходимости.

3. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.

Признак Коши:

Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un… (7)

и пусть существует предел При p< 1 ряд (7) сходится, при p> 1 ряд (7) расходится.

Доказательство:

По условию существует Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n³ N выполняется условие | | < E или

p-E< < p+E. (14)

Пусть p< 1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q< 1. Тогда из (14) получаем < q или un< qn для всех n³ N. Рассмотрим ряды

(15)

(16)

Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что un< qn для всех n³ N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).

Пусть теперь p> 1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие
p-E > 1. Тогда из (14) получаем > 1 или un> 1, следовательно, un¹ 0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.