Условия теоремы Гаусса-Маркова для модели парной регрессии

1. Случайный член регрессии в каждом наблюдении имеет нулевое математическое ожидание для любого i. Иногда случайный член может быть положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематическое смещение ни в одном из двух возможных направлений. Фактически если уравнение регрессии включает постоянный член, то разумно предположить, что это условие выполняется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции в y, которую не учитывают объясняющие переменные включенные в уравнение регрессии.

2. Дисперсия случайного члена регрессии не зависит от номера наблюдения не зависит от i. Иногда случайный член будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы он порождал большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других. для всех i. Т.к. и , условие можно переписать в виде для всех i. Одной из задач регрессионного анализа является оценка стандартного отклонения случайного члена. Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициенты регрессии, найденные по МНК, будут неэффективны, более надежные результаты будут получены путем применения модифицированного метода регрессии.

3. Случайные члены регрессии в разных наблюдениях не зависят друг от друга , если i≠ j. Например, если случайный член велик и положителен в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в следующем наблюдении (или большим и отрицательным, или малым и положительным, и малым и отрицательным). Случайные члены должны быть абсолютно не зависимы друг от друга. Если это условие не выполняется, то регрессия, оцененная по МНК, дает неэффективные результаты.

4. Случайный член регрессии и объясняющая переменная в каждом наблюдении независимы друг от друга для любого k. Значение любой независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться экзогенным, полностью определяемым внешними причинами, не учитываемыми в уравнении регрессии.

Если выполнены условия Гаусса-Маркова для модели парной регрессии, то МНК дает несмещенные, эффективные и состоятельные оценки параметров регрессии a и b.