Проблема объединения математических и неформальных методов анализа

При решении трудных проблем приходится прибегать к неформальным способам анализа. Далеко не всякая задача анализа системы или её проектирования может быть аккуратно поставлена математически. Успех исследования конкретной системы или качество создаваемого проекта во многом зависят от того, насколько удачно исследователь сумел вписать в неформальную процедуру создания проекта формальные математические методы.

Можно ли вообще ставить вопрос об объединении математических методов и методов, основанных на интуиции и опыте? Не является ли сама постановка вопроса противоречивой?

В самом деле, в традиционной математике только математические результаты, сформулированные в форме теорем, считаются бесспорными и окончательными, только они кажутся достаточно убедительными. Математические методы - и только они - дают однозначный вывод из исходных посылок, не допуская альтернативных цепочек следствий. Все другие способы анализа, основанные на интуиции и аналогиях, не обладают подобной строгостью логических заключений. Любые утверждения, полученные не на основе математических методов, математик может ставить под сомнение - ему всегда не достает доказательств. Такова традиция.

Эта традиция ведет к тому, что не анализируются исходные посылки, и ведется только анализ следствий. Это сужает естественные рамки деятельности и возможностей современной математики и математиков. Она приводит к уходу математика от проблем, где может быть, только он и сможет преодолеть трудности, встающие перед исследователем.

Поэтому как альтернатива установившейся традиции возникает иная точка зрения на цели и содержание математических исследований. В чём она состоит?

Математика делает однозначными, строго обоснованными любые следствия из исходных посылок. Но исходные посылки – аксиомы – проистекают из гипотез, которые лежат вне математики. Эти гипотезы возникают как результат неформального мышления, как обобщение опыта и наблюдений. Значит формальное и неформальное всегда присутствуют в исследованиях одновременно, переплетаясь друг с другом. Тогда законна точка зрения, формальные и неформальные процедуры можно и не разделять, рассматривая их как элементы целостного единого процесса исследования. Таким образом, формирование системы гипотез (аксиом), т.е. создание модели, можно не отрывать от методов её исследования. Из этого принципа следуют вполне определенные практические рекомендации.