Определенный интеграл

Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

1.Вычисление площади криволинейной трапеции

Пусть на промежутке [a, b] задана функция f(x) 0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью ОХ. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.

1. Разобьем промежуток [a, b] произвольными точками на n частей. Положим , то есть есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим , ( = max .

2. На каждом отрезке [ возьмем по произвольной точке и вычислим Построим прямоугольник с основанием и высотой f( Его площадь равна Проделаем это для каждого i= 1, 2, …, n.

3. Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равна сумме Площадь криволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура «отображает» криволинейную трапецию.

4. За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается Таким образом, (1)

2) Вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Пусть известен закон изменения мгновенной скорости . Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от до . Движение в общем случае предполагается неравномерным. Поступим следующим образом.

1. Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов , где . На произвольном участке будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью Тогда за время пройденный путь приближенно равен Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2. Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме . Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.

3. Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим , тогда (2)