Погрешность результата косвенных измерений

Если интересующая нас физическая величина F является функцией величин x, y, z и т. д., которые измеряются непосредственно в ходе эксперимента, то значение функции F(x, y, z, …) получают из расчета по известной функциональной связи F и x, y, z..., где в качестве величин x, y, z... будут фигурировать средние значения результатов их прямых измерений. Такое измерение величины F называют косвенным.

В том случае, когда отдельные измерения величин x, y, z… не носят характера повторных измерений, т. е. эти величины измеряются при меняющихся условиях, то определение среднего значения функции < F> сводится к усреднению значений F, полученных по данным изменений различных x, y, z. Как и для прямых измерений, погрешность DF будет рассчитываться по формуле (11) на основании набора данных расчета величины F_i для различных x, y, z.…

В случае проведения повторных измерений величин x, y, z... расчет среднего значения функции < F > проводится так:

< F> = F (< x>, < y>, < z>, …). (15)

При условии взаимной независимости погрешностей величин x, y, z... абсолютная погрешность DF величины F может быть определена так (3):

, (16)

где - частные производные функции F по соответствующим величинам x, y, z...; Dx, Dy, Dz... - абсолютные погрешности прямых измерений величин x, y, z..., полученных, как описано в п. 3. Если окажется, что одна из величин , , больше других приблизительно в три и более раза, то, вероятнее всего, именно эта величина может быть взята как погрешность результата косвенного измерения D F. Например, этому условию удовлетворяет величина , тогда

D F = . (17)

5. Примеры обработки и оформления результатов
измерений физических величин

Для наглядности использования описанных выше методов оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений приведем примеры обработки результатов измерений в лабораторной работе №1" Определение плотности тела".

Проводится экспериментальное определение плотности тела в форме цилиндра

, (18)

где m - масса тела; d - диаметр основания цилиндра; h - высота основания цилиндра.

Определение массы тела производится взвешиванием на аналитических весах. Погрешность взвешивания определяется приборной погрешностью аналитических весов. Если масса тела предполагается известной и погрешность массы не указана, то условно можно считать погрешностью массы единицу десятичного разряда последней значащей цифры в записи массы тела.

Пример. Предлагаем тело массы m = 51, 86 г, погрешность массы не указана. Условно считаем D m = ±0, 01 г.

Следующим этапом измерения является экспериментальное определение линейных размеров цилиндрического тела: диаметра основания и высоты цилиндра. Эти измерения проводим при помощи штангенциркуля, точность измерения которого равна 0, 05 мм или 0, 1 мм. Таким образом, приборная погрешность измерения линейных размеров тела равна D x = 0, 05 мм (0, 1 мм). Результаты всех измерений вносятся в табл. 3.

Таблица 3

Dх = 0, 05 мм (или 0, 1 мм ); m = 51, 86 г; Dm = 0, 01 г; форма - цилиндр

Определим средние арифметические значения диаметра основания < d > и высоты цилиндра < h > и запишем полученные результаты в табл. 3.

< h> = 1 /n(h₁+h₂+…h_n) = 1 /n ; n = 5,

< h> = (37, 65+37, 85+37, 60+37, 70+37, 85)/5 = 37, 73мм;

< d> = 1 /n(d₁+d₂+…d_n) = 1 /n ; n = 5,

< d> = 1/5(15, 15+15, 00+15, 10+15, 25+15, 15) = 15, 13мм.

По имеющимся данным m, < d>, < h> рассчитаем значение r:

г/см³ = 7, 65× 10³ кг/м³. Занесем полученное значение в табл. 4.

Таблица 4

Найдем отклонение отдельных измерений величин h_i и d_i от их средних значений < h> и < d>, соответственно:

Dh_i = h_i - < h>; (19)

Dd_i = d_i - < d>. (20)

Данные из расчетов по формулам (19) и (20) запишем в табл. 4.

По формуле (11) определим абсолютные случайные погрешности линейных размеров цилиндра:

»2× 10^{-2 см.}

Мы видим, что случайная погрешность измерения D h превышает приборную погрешность (Dh_пр = Dх = 0, 05 мм).

Аналогично вычисляем абсолютную погрешность измерения диаметра основания цилиндра: Dd = 1× 10^{-2 см.}

Следующим этапом обработки результатов измерений является определение абсолютной погрешности результата косвенного измерения плотности материала цилиндра по формуле (16):

. (21)

Рассчитаем значение выражений, стоящих в скобках под квадратным корнем в формуле (21):

;

;

.

Так как выражение, стоящее во второй скобке, по размеру более чем в два раза превышает любое из выражений, стоящих в первой и третьей скобках, то, будучи возведенным в квадрат, оно будет превышать два других слагаемых более чем в 5 раз; следовательно, можно приближенно оценить погрешность D r как размер выражения, стоящего во второй скобке. Это тем более верно по причине описания размера погрешности одной значащей цифрой.

Итак,

= 0, 10 г/см³.

Относительная погрешность измерения плотности:

.

Окончательно результат измерения плотности материала цилиндра запишем так:

r = (7, 65±0, 10)г/см³.

Осуществим пересчет результата в размерность СИ:

r = (7650±100) кг/м³= (7, 65 ± 0, 10)× 10³кг/м³.

Последним этапом обработки результатов измерений в ходе проведения эксперимента по определению плотности материала является написание краткого заключения проделанной работы.

На примере проведения эксперимента по определению плотности материала цилиндра это выглядит так: " В проведенной лабораторной работе путем косвенного измерения была определена плотность материала цилиндра по данным прямых измерений его линейных размеров и массы. Измерения линейных размеров проводились штангенциркулем, приборная погрешность которого равна DХ_пр = 0, 05 мм. Измерение массы проводилось на аналитических весах, точность определения массы составила ±0, 01 г. В результате значение плотности материала цилиндра получилось равным

r = (7650±100)кг/м³ = (7, 65 ± 0, 10)× 10³кг/м³.

Полученный результат измерения плотности тела и его сравнение с данными таблицы плотности веществ позволяет заключить, что цилиндр сделан из стали.

В представленных в этом сборнике лабораторных работах №1 и №42 студентам предстоит ознакомиться с лабораторным оборудованием, приобрести навыки работы с измерительными приборами, провести требуемые в работах измерения физических величин, рассчитать значения плотности и удельного электрического сопротивления исследуемых материалов. Особое внимание необходимо в этих работах уделить расчету погрешностей физических измерений: случайных, приборных и систематических. В частности, в работе №1 основным моментом является освоение методов определения случайных погрешностей прямых измерений физических величин и случайных погрешностей косвенных измерений на примере плотности исследуемых материалов. В работе №42 помимо случайных погрешностей рассматриваются методы исключения систематических погрешностей, связанных с неидеальностью элетроизмерительных приборов, применяемых в лабораторной установке.

Литература

1. Гасников К.К., Н.П. Калашников. Методические указания по обработке результатов измерений физических величин. T7-1/0. - М.: МГИУ, 2000. с. 20-21.

2. Там же, с. 21-24.