Математическая часть

3.1 Основной характеристикой фрактального объекта является фрактальная

размерность:

D = lim (ln(b)/ln(1/b))

Теперь мы рассмотрим, как получается эта формула.

Известно, как приближено найти длину кривой на плоскости. Для этого надо взять ломанную с вершинами на кривой и с одинаковыми звеньями длины e

L (e) = e N (e),

где N (e) – число звеньев. При этом говорят, что кривая измерена циркулем с раствором e. Если кривая имеет конечную длину L, то

и число звеньев N (e) растет как L/ e при e 0.

При этом

Для кривой бесконечной длины число звеньев N (e) растет, очевидно, быстрее e^-1 при e 0. Поэтому размерность определяется как:

D = lim (ln(b)/ln(1/b))

3.2 Метрика.

Мы начнем с довольно общих и абстрактных определений, которые позже будут проиллюстрированы и объяснены на многих конкретных примерах. Возможно, некоторым читателям наше изложение покажется слишком абстрактным и трудным для понимания и запоминания. Но вы вскоре убедитесь, что новые понятия очень полезны во многих случаях. Они позволяют рассматривать с единой точки зрения много задач, которые выглядят совершенно различно.

A1. Определение метрического пространства

Определение A1. Метрическое пространство –– это пара (M, d),

где M –– множество, а d: M × M→ R –– функция, которая каждой паре

точек x и y из M ставит в соответствие число d(x, y) –– расстояние

между x и y. При этом требуется, чтобы следующие аксиомы были

выполнены:

• положительность: для всех x, y ∈ M величина d(x, y) –– неотрицательное вещественное число, которое равно нулю тогда и только тогда, когда x = y;

• симметричность: d(x, y)=d(y, x) для всех x, y ∈ M;

• неравенство треугольника: d(x, y) < = d(x, z) + d(z, y) для всех x, y, z ∈ M.

Пусть M –– метрическое пространство. Обозначим через K(M) совокупность всех непустых компактных подмножеств в M. Мы хотим определить расстояние между двумя подмножествами так, чтобы K(M) было также метрическим пространством. Для этого мы

сначала определим расстояние d(x, Y) между точкой x и компактным непустым множеством Y:

d(x, Y): = min d(x, y).

y∈ Y

Расстояние между двумя компактными непустыми множествами X и Y определяется формулой:

d(X, Y): = max d(x, Y)+max d(y, X). 1

x∈ X y∈ Y

Более прямое определение, не использующее промежуточных понятий, выглядит более громоздко:

d(X, Y): = max*min d(x, y)+max min d(x, y) 2

x∈ X y∈ Y y∈ Y x∈ X

Однако если подумать немного, как определить расстояние между

двумя подмножествами так, чтобы выполнялись все три аксиомы, вы

увидите, что 1 или 2, является простейшим выбором.

На рисунке первое и второе слагаемые в 2 –– это длины отрезков AB и CD соответственно.

Теорема 2. Если метрическое пространство M полно (соответственно компактно), то пространство K(M) тоже полно (соответственно компактно).

Теорема 3. Отображение F –– сжимающее, и, следовательно, существует единственное непустое компактное множество X ⊂ M, обладающее свойством F(X)= X.

Определение 1. Множество X из теоремы 2 называется однородным самоподобным фрактальным множеством или, короче, самоподобным фракталом. Семейство функций f1,..., fk обычно называют порождающей системой функций, определяющей фрактал X. Иногда используется более общее определение. А именно, зададим отображение F формулой

F(X) = f1(X)∪ f2(X)∪... ∪ fk(X)∪ Y,

где Y –– фиксированное компактное подмножество в M. Новое отображение F будет также сжимающим.

Теперь пора от общих слов перейти к конкретным примерам.

1. Канторово множество C.

2. Iα -фрактал.

Далее хотелось бы рассказать о применении фрактальных методов к анализу

временных рядов. Временной ряд - совокупность наблюдаемых параметров

изучаемой системы во времени. Многие экспериментальные данные обладают фрактальной статистикой. Анализ и моделирование которой могут быть произведены с помощью методов фрактального анализа. Одним из самых перспективных направлений фрактального анализа является изучение динамики во времени такой характеристики, как фрактальная размерность (D).

Есть несколько методов определения фрактальной размерности для

временного ряда.

Первое - это классический клеточный способ, когда график накрывают

серией сеток и определяют фрактальную размерность точно так же, как и для

геометрических фракталов.

Второй способ для исследования фрактальных временных рядов был

предложен Бенуа Мандельбротом и базируется на исследованиях проведенных английским исследователем Херстом и носит название R/S метода. Он построен на анализе размаха параметра (наибольшим и наименьшим значением на изучаемом отрезке) и среднеквадратичного отклонения.

И третьим является способ, основанный на изменении длины кривой в

зависимости от масштаба. Если кривая близка к фрактальной, то с

уменьшением масштаба длина кривой будет возрастать степенным образом.

Особое значение фрактального анализа временных рядов в том, что он

учитывает поведение системы не только в период измерений, но и его

предысторию.

Для фрактальных временных рядов на интервале t0< t< T размах параметра R

R = зависит от времени t степенным образом:

(3)

где: D фрактальная размерность временного ряда. Исходя из данного выражения можно предсказать возможное значение размаха интересующего

параметра в будущее.