Деформированное состояние. Обобщенный закон Гука.

Тема 4 (окончание)

Как уже отмечалось ранее, элементарный параллелепипед, определяющий точку тела, может испытывать линейные и угловые деформации. Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через точку тела, называют д е ф о р м и р о в а н н ы м с о с т о я н и е м в т о ч к е и записывают в виде т е н з о р а д е ф о р м а ц и й

Как видим, тензор деформаций имеет ту же структуру, что и тензор напряжений. Отметим, что у компонента γ ставится коэффициент 0, 5, поскольку одному углу сдвига соответствуют два касательных напряжения τ в плоскости.

Все дальнейшие понятия и формулы деформированного состояния аналогичны понятиям и формулам напряженного состояния в точке тела. Также определяются г л а в н ы е о с и д е ф о р м и р о в а н н о г о с о с т о я н и я и г л а в н ы е д е ф о р м а ц и и. Они также находятся из кубического уравнения, которое имеет вид

Здесь - инварианты деформированного состояния.

Тензор деформаций в главных осях записывается так

Важно подчеркнуть, что в изотропном упругом теле главные оси напряжений и деформаций с о в п а д а ю т. Поэтому для тел из таких материалов в нахождении главных осей деформаций нет необходимости.

Наряду с понятиями линейной и угловой деформациями вводят понятие о б ъ е м н о й д е ф о р м а ц и и. Под ним понимают относительное изменение объема элемента (точки) тела.

Линейные размеры бесконечно малого параллелепипеда dx, dy, dz в результате деформации становятся равными: dx·(1+ ε _x), dy·(1+ ε _y), dz·(1+ ε _z). Абсолютное приращение объема определяется разностью

Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций как величинами малыми по сравнению с их первыми степенями, получают

Следовательно, о т н о с и т е л ь н а я о б ъ е м н а я д е ф о р м а ц и я определяется формулой

которая представляет собой первый инвариант тензора деформаций .

Отметим, что при выводе формулы (4.40) полностью игнорировалось влияние угловых деформаций на изменение объема, поскольку оно ничтожно мало по сравнению с влиянием линейных деформаций.

До сих пор напряженное и деформированное состояния рассматривались порознь и не связывались со свойствами материала. Однако, как мы уже знаем, между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного состояния – с другой, существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название о б о б щ е н н о г о з а к о н а Г у к а.

Для и з о т р о п н о г о тела обобщенный закон Гука принимает довольно простую форму, поскольку в этом случае коэффициенты пропорциональности между напряжениями и деформациями не зависят от ориентации осей в точке.

Прежде чем устанавливать зависимость между напряжениями и деформациями, отметим, что линейные деформации связаны лишь с нормальными напряжениями, а угловые (сдвиги) – с касательными. Поэтому рассмотрим порознь действие нормальных и касательных напряжений.

На рис. 4.9 изображен элемент, по граням которого действуют только нормальные напряжения. Используя принцип суперпозиции, представим напряженное состояние элемента в виде суммы трех состояний.

Рис. 4.9.

Определим, например, относительную линейную деформацию ε _x. Ее можно, очевидно, записать так:

Здесь выражает собой деформацию, обусловленную напряжением σ _x. Она, как при осевом растяжении, равна σ _x/E. От напряжений σ _y и σ _z в силу эффекта Пуассона возникают укорочения элемента вдоль оси X. Они будут равны и . Следовательно,

Аналогичные выражения получим для деформаций ε _y и ε _z. В совокупности эти уравнения образуют следующую систему, представляющую п е р в у ю ч а с т ь обобщенного закона Гука.

Как видим, любая линейная деформация зависит от нормальных напряжений, действующих по всем трем осям.

Что касается угловой деформации, то она возникает лишь от касательных напряжений, действующих в той же плоскости (рис. 4.9, б). Поэтому в т о р а я ч а с т ь обобщенного закона Гука записывается так:

Обобщенный закон Гука для изотропных тел можно представить в матричной форме

Здесь последнюю матрицу, состоящую из упругих констант E, μ и G, называют м а т р и ц е й п о д а т л и в о с т и.

Отметим, что если элемент ориентирован по главным осям, то обобщенный закон Гука будет описан только его первой частью.

Относительную объемную деформацию (4.40) получим путем сложения левых и правых частей выражений (4.42). В результате будем иметь

Из этого выражения, в частности, можно установить предельное значение коэффициента Пуассона для изотропного материала. Поскольку это справедливо для любого напряженного состояния, то оно должно быть применимо и для частного случая: σ _x = σ _y = σ _z = σ. В этом случае

Величина ε _V должна иметь знак величины σ. Например, при всестороннем гидростатическом сжатии (σ < 0) объем элемента должен уменьшаться. А это возможно лишь в случае μ ≤ 0, 5.

Подчеркнем еще раз, что все сказанное выше относилось к упругим изотропным материалам. Иные зависимости будут между деформациями и напряжениями в а н и з о т р о п н ы х упругих телах, широко применяемых в последние годы в различных отраслях техники. Это относится не только к естественным анизотропным материалам (типа дерева), но, в первую очередь, к искусственным материалам, называемым к о м п о з и т а м и.

Композиты состоят по меньшей мере из двух компонентов - н а п о л н и т е л я и с в я з у ю щ е г о. Если наполнитель представляет собой уложенную в определенном порядке систему нитей, то модули упругости композита в различных направлениях могут существенно различаться.

В анизотропных телах, в отличие от изотропных, каждая компонента деформационного состояния зависит от каждой из компонент напряженного состояния, что записывается следующим образом:

Здесь коэффициенты податливости S_ik не являются константами материала, поскольку они зависят не только от его физических свойств, но и от ориентации осей x, y и z. Отметим без доказательства, что S_ik = S_ki и, таким образом, матрица податливости имеет 21 независимую компоненту.

Обратим внимание на то, что если оси x, y и z являются главными осями напряженного состояния, то τ _xy = τ _yz = τ _zx = 0. При этом, однако, угловые деформации γ _xy, γ _yz, γ _zx в ноль не обращаются. Таким образом, в анизотропном теле главные оси напряженного и деформированного состояний н е с о в п а д а ю т.

Композиты с однонаправленной укладкой нитевидного наполнителя называются м о н о т р о п н ы м и (рис. 4.10, б). В монотропных композитах модули упругости и коэффициенты Пуассона

Рис. 4.10.

имеют различные значения в направлении осей. Если их обозначить через E_x, E_y, E_z, то можно записать

Здесь коэффициенты Пуассона сопровождаются двумя индексами. Первый соответствует оси действующего напряжения, а второй – оси, по которой происходит сужение. Для монотропной среды, естественно, E_x = E_y и μ _xz = μ _yz.

Наиболее характерным видом анизотропии для композитов является о р т о т р о п и я, обладающая симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Здесь, в отличие от монотропии, оси x и y неравноправны. Упругие свойства ортотропной среды описываются девятью независимыми постоянными, и матрица податливости имеет вид:

где по свойству симметрии .