Расчеты статически неопределимых систем, работающих в упругой стадии, на различные воздействия.

Тема 3.

С т а т и ч е с к и - н е о п р е д е л и м о й называется такая система, в элементах которой все внутренние силы не могут быть найдены исходя их одних условий статики. Здесь рассмотрим задачи, связанные с возникновением в стержнях только продольных сил N.

Пример. На рисунке 3.6 изображен заделанный по концам стержень АВ, нагруженный силой Р в точке С. Требуется найти силы N и напряжения s на участках стержня AC, CD и DB.

Поскольку сила Р действует вдоль оси Z, никаких опорных реакций кроме V_A и V_B в заделках не возникает, и поэтому единственное условие статики будет иметь вид

V_A + V_B = Р. (а)

Для дальнейшего решения этой задачи можно использовать два пути. Первый путь заключается в следующем – рассматривается деформированное состояние стержня при сохранении опорных связей.

Сечение С под действием нагрузки перейдет в новое положение С ₁. Перемещения сечения С относительно верхней и нижней опор равны (по абсолютной величине), т.е.

(б)

Рис. 3.6.

В этом заключается условие совместности деформаций, называемое также условием кинематики.

Поскольку

(в)

и

(г)

то (д)

откуда (е)

Подставив (е) в (а), получим

и (ж)

Отметим, что в силу очевидного нами было выбрано такое направление опорных реакций, чтобы на участке АС было растяжение, а на участке СВ – сжатие стержня. Если бы обе опорные реакции были направлены в сторону от опор А и В, т.е. реакция V_B вызывала растяжение на участке СВ, то уравнения (а) и (г) записывались бы так:

V_A - V_B = Р, (а´)

и

(г´)

Знак «минус» в последней формуле поставлен потому, что перемещение точки С соответствует сжатию стержня на участке СВ, а продольная сила – растяжению. Следовательно,

(д´)

откуда

(е´)

Таким образом, после подстановки выражения (е´) в уравнение (а´) получим

и (ж´)

Знак «минус» показывает, что принятое направление опорной реакции V_B надо изменить на противоположное.

Второй путь решения этой же задачи основан на удалении одной из опорных связей («способ раскрепления торца»). Вместо удаленной связи А прикладывают неизвестную силу Х = V_А и полагают, что перемещение точки А от действия всех внешних сил и неизвестной силы Х должно быть равно нулю, т.е.

(з)

В этом заключается условие кинематики, которое можно записать в следующем развернутом виде

(и)

Для рассматриваемого случая (рис. ж, з)

(к)

и + (л)

Подставляя выражения (к) и (л) в выражение (з), получим , т.е. то же значение, что и ранее.

После определения опорных реакций задачу можно считать принципиально решенной, после чего строим эпюры N, σ и w.

Из приведенной задачи следует, что помимо условий статики (а) мы использовали одно у с л о в и е (уравнение) с о в м е с т н о с т и п е р е м е щ е н и й (б), которое также называют у с л о в и е м с о в м е с т н о с т и д е ф о р м а ц и й или у с л о в и е м к и н е м а т и к и.

В общем случае число уравнений кинематики равно степени статической неопределимости системы. Степень с т а т и ч е с к о й н е о п р е д е л и м о с т и – n равна числу лишних (избыточных) связей, устранение которых превращает систему в статически определимую.

Поясним сказанное на примерах.

Пример. На рисунке 3.7 изображена абсолютно жесткая балка АВ, опертая шарнирно в точке А и поддерживаемая тремя стержнями разной длины и жесткости. Требуется найти продольные силы в стержнях от приложенной к балке силы Р.

Прежде всего установим степень статической неопределимости системы. Здесь n = 2, поскольку общее число связей, прикрепляющих балку к «земле» равно 5 (пяти).

Рис. 3.7.

Мысленно рассечем стержни и приложим вместо них силы (на рисунке все они положительны, так как направлены от шарниров). Тогда условие статики, связывающее эти силы с нагрузкой, будет иметь вид

(a)

Отметим, что условия статики и мы не используем, поскольку в задаче не требуется определения реакций в неподвижной шарнирной опоре А.

Для составления условий кинематики рассмотрим деформированное состояние системы – балка под действием нагрузки повернется на некоторый угол φ узловые точки C, D и B получат перемещения .

В соответствии с гипотезой малых деформаций считают, что перемещения любой i -ой точки будет происходить не по дуге окружности, а по касательной к ней (допущение Виллио).

Из подобия треугольников запишем два уравнения кинематики

и . (б)

Так как перемещения △ можно выразить через деформации △ l_i, а те в свою очередь – через продольные силы N_i, то в данном случае получим

и (в)

Решив совместно три уравнения (а) и (в), найдем искомые значения сил N_i.

Пример 3.5. Изображенная на рис. 3.7, б система один раз статически не­определима, поскольку для прикрепления узла А к «земле» достаточно двух связей. (Напоминаем, что рассматриваются плоские системы). Поступая анало­гично предыдущему, запишем условия статики:

Из рассмотрения деформированного состояния системы получим, что с одной стороны,

и, таким образом,

Решая совместно уравнения (а) и (в), найдем усилия в стержнях.

Выше были рассмотрены примеры расчета статически неопределимых систем на нагрузку. Перейдем теперь к рассмотрению особенностей расче­та подобных систем на температуру и на дислокацию.

Пример (на температуру). Пусть в стержневой системе (рис. 3.8, а) стержень 1 нагрет на t , а в остальных стержнях t = 0. Требуется определить силы N. Здесь в отличие от рис. 3.7, а сила Р отсутствует.

Ясно, что если бы стержней 2 и 3 не было балка заняла положение АВ´, причем перемещение точки В в этом случае равнялось (где α - коэффициент линейного расширения материала стержня 1).

Рис. 3.8.

Наличие стержней 2 и 3 препятствует свободному повороту балки. При этом сами они растягиваются, а нагреваемый стержень сжимается. Это – качественная картина работы стержней. Значения сил N_i, как и ранее, получим из совместного рассмотрения условий статики и кинематики. В данном случае условие статики:

Прежде чем записать условия кинематики, выразим перемещения через деформации стержней:

Следовательно

Решая совместно уравнения (а) и (в), найдем силы N_i. Обратим внимание на то, что считая первоначально все стержни растянутыми, получим N ₁ , а N ₂ и N ₃ .

Пример (на дислокацию). Пусть в стержневой системе, изображенной на рис. 3.8, б средний стержень выполнен короче расчетной длины l ₁ на величину 0, 001 l ₁. Таким образом, здесь d ₁ = - 0, 001 l ₁.

Следовательно, условие статики имеет вид

Согласно условию совместности перемещений

В данном случае

Таким образом, с учетом (в) условие кинематики (б) запишется так

Решим эту задачу до конца. Из уравнения (а) получим

откуда согласно уравнению (г)

Из последнего уравнения видно, что N ₂ и, следовательно, N ₁ т.е.стержень 1, выполненный короче расчетной длины, будет растянут, а стержни 2 – сжаты.

Все приведенные выше рассуждения основывались на упругих деформациях стержней.