Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема: (Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции) Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение: Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема: (О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема: (О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

первая производная непрерывна в окрестности точки ;

вторая производная или не существует в точке ;

при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.