Расчёт временных характеристик в проекте

Значения временных характеристик в проекте будем определять последовательно. Сначала найдём значения временных характеристик событий и критическое время проекта, потом рассмотрим вопрос нахождения значений временных характеристик работ, после чего будем рассчитывать временные характеристики путей.

Расчёт временных характеристик событий удобно рассчитывать, используя сам сетевой график. Для этого разобьём каждое событие на четыре сектора: верхний, левый, правый и нижний. В верхнем секторе будем записывать номер события, в левом рассчитанное значение раннего времени наступления события, в правом – позднее время события, и, наконец, в нижнем – резерв времени события. Это позволит сразу же при расчёте охватывать и сетевой график и уже рассчитанные значения временных характеристик событий.

На сетевом графике, также можно последовательно выделять критические работы, чтобы проще было строить сетевой график критических работ и контролировать расчёты.

5.1. Расчет временных характеристик событий

Сначала рассчитаем для всех событий раннее время их наступления. Раннее время событий будем рассчитывать последовательно, начиная с начального события и заканчивая конечным. Раннее время начального события полагаем равным нулю , если в проекте особо не оговорено время начала проекта. Если же реализация проекта предполагает выполнение проекта с заданного момента времени, то раннее время начального события будет равняться этому моменту времени.

Ранее время остальных событий рассчитываем, предполагая, что ранее время предшествующих событий уже рассчитано. Рассчитаем раннее время события . В проекте находим все работы, которые непосредственно предшествуют данному событию, входят в это событие. Пусть это работы У₁, У₂, …, У_s. На рис. 2 рассматривается случай, когда в событие входят три работы. Кроме этого определяем события, которые являются началами этих работ. Для каждой из найденных работ вычислим сумму раннего времени события , являющегося началом работы, и продолжительности работы . Для работы У₁ сумма равняется + , для работы У₂ – + , …, для работы У_s – + . Тогда раннее время наступления события равняется наибольшему значению из найденных сумм = .

Таким образом, рассчитываем раннее время всех событий, включая конечное событие. Раннее время конечного события – это наименьшее время, за которое будут выполнены все работы проекта, поэтому оно равно критическому времени проекта, т. е. = . Так как раннее время конечного событие уже рассчитано, то определяется и критическое время проекта.

Дальше рассмотрим, как рассчитывается для всех событий позднее время их наступления. Также, позднее время событий будем рассчитывать последовательно, но начиная с конечного и заканчивая начальным. Позднее время конечного события равняется наибольшему времени, за которое можно выполнить все работы проекта, но не позднее критического времени проекта. Поэтому оно равно критическому времени проекта = , если в проекте особо не оговорено время окончания проекта. Если же реализация проекта предполагает выполнение проекта до заданного момента времени , которое называется директивным, то позднее время конечного события будет равняться этому моменту времени = .

Позднее время остальных событий рассчитываем, предполагая, что позднее время последующих событий уже рассчитано. Рассчитаем позднее время события . В проекте находим все работы, которые непосредственно следуют из данного события, выходят из него. Пусть это работы X₁, X₂, …, X_s. На рис. 3 рассматривается случай, когда из события выходят три работы. Определяем события, которые являются окончаниями найденных работ. Для каждой из найденных работ вычисляем разность позднего времени события , являющегося началом работы X_j, и продолжительности работы . Для работы Х₁ разность равняется – , для работы Х₂ – разность – , …, для работы Х_s – разность – . Тогда позднее время наступления события равняется наименьшему значению из найденных разностей = .

Рассчитываем позднее время всех событий, включая начальное событие. Если директивное время не определено, то позднее время начального события равняется времени начала проекта . Если начало работы равно нулю, то и =0. Этот расчёт является контрольным вычислением.

Далее рассмотрим вопрос о расчёте резерва времени события. Ещё раз вспомним, что это наибольшее время, на которое можно сдвинуть наступление события, чтобы все работы, предшествующие событию, следующие за ним, были выполнены не позднее критического времени проекта. Пусть – время наступления события . Тогда это время должно быть не раньше раннего времени события и не позже позднего времени события , т. е. . Поэтому наибольшее время, на которое можно сдвинуть событие равно разности этих моментов времени – . Тогда резерв времени события равен разнице позднего и раннего времени этого события = – .

5.2. Расчет временных характеристик работ

Временные характеристики работ рассчитываются, когда известны временные характеристики событий. Значения временных характеристик работ будем рассчитывать последовательно, сначала раннее время начала работы , потом позднее время окончания работы , далее раннее время окончания работы , позднее время начала работы и полный резерв времени работы .

Полагаем, что работа представляется парой событий , и значения , , и уже рассчитаны, а продолжительность работы известна из условия задачи.

Рассчитаем раннее время начала работы. Пусть – время начала работы. Так как событие является началом работы, то время начала работы – есть время наступления события , = . Тогда наименьшее время, раньше которого не может наступить начало работы (), будет ранним временем события (), т. е. = .

Аналогично определяется позднее время окончания работы . Окончанием работы является событие . Поэтому время, когда закончится работа , будет временем наступления события (). Тогда наибольшее время, позже которого не может закончиться работа, будет поздним временем события (), т. е. = .

Определим раннее время окончания работы . Пусть также – время, когда закончилась работа. Тогда – будет временем, когда работа начнётся. Тогда наименьшее время, когда начнётся работа равно . Отсюда следует, что наименьшее время окончания работы минус продолжительность работы будет наименьшим временем начала работы, – = . Получаем, что раннее время окончания работы равняется сумме раннего времени начала работы и продолжительности работы: = + . Так как

= , то раннее время окончания работы также равно = + .

Найдём позднее время начала работы . Пусть – время начала работы. Время + будет временем, когда работа закончится. Наибольшее время, когда закончится работа равно . Тогда наибольшее время начала работы плюс продолжительность работы будет наибольшим временем окончания работы, + = . Получаем, что позднее время начала работы равняется разности позднего времени окончания работы и продолжительности работы: = – . Так как = , то позднее время начала работы равно = – .

Пусть и – время начала и окончания работы . Тогда максимальное время, на которое можно сдвинуть начало работы равно – , а максимальное время, на которое можно сдвинуть окончание работы – . Максимально можно сдвинуть начало и окончание работы на время, равное сумме этих значений – + – . Поэтому полный резерв времени равен = – + – = – –( – )= – – . Полный резерв времени равен разности позднего времени окончания работы и раннего времени начала работы минус продолжительность работы: = – – . Также полный резерв времени работы равен = – – .

5.3. Расчет временных характеристик путей

Для путей мы определили две временные характеристики, длину пути L и резерв времени пути . По определению длины пути длина пути = равна сумме продолжительностей работ, входящих в путь: L= + + … + . Рассчитаем резерв времени пути. Пусть и время начала и окончания работы Х₁, и время начала и окончания работы Х₂, …, и время начала и окончания работы Х_n. Тогда начала и окончания работ можно сдвинуть на время, равное сумме +( – )+( – )+ … + +( – )+ – . Тогда резерв времени пути равен = –( – )–( – )–

– … –( – )– ( – )= –( + + … + )= – L. Таким образом, = – L.

5. 4. Построение сетевого графика критических работ проекта

Для анализа выполнения работ проекта в кратчайшие сроки используется сетевой график критических работ проекта или просто график критических работ. Сначала рекомендуется сделать эскиз графика критических работ. Для этого последовательно отмечают все критические события проекта в порядке их наступления. После этого последовательно наносятся критические работы проекта с помощью дуг, которые соединяют начало и окончание работы. Полученный эскиз проверяют на отсутствие тупиковых событий и связности графика, а также наличия циклов. В сетевом графике критических работ не должно быть событий, в которые не входит ни одна работа, кроме начального события. Также не должно быть событий, из которых не выходит ни одна работа, кроме конечного события. Для любого события должен быть путь, который проходит через данное событие, и соединяет начальное и конечное событие. Для каждого события не должно быть последовательности работ, которая начинается событием и заканчивается этим же событием.

На основе эскиза сетевого графика строится сам график, с проекциями критических событий на временную ось. Рекомендуется сетевой график строить так, чтобы два события, для которых есть критическая работа, соединялись этой работой горизонтально, а другие последовательности работ, соединяющие эти события, располагались выше данной работы. Это требование не обязательное, но иногда упрощает построение сетевого графика критических работ.

Пример 1. Рассматривается проект. Для проекта определён список работ A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M, N, которые необходимо выполнить. Для каждой работы определено время её выполнения в табл. 1. Порядок выполнения работ, задан сетевым графиком, рис. 4.

1. Определить временные характеристики событий и критическое время проекта, критические события. 2. Найти полные резервы времени работ, критические работы. 3. Построить сетевой график критических работ проекта.

Продолжительности работ проекта Таблица 1

Решение. 1. Рассчитаем временные характеристики событий и критическое время проекта. В задаче не оговорено, что проект начинается в заданный момент времени, поэтому полагаем, что раннее время начального события равняется нулю. Начальным событием является нулевое событие, поэтому = =0.

Дальше определим раннее время первого события, так как ему предшествует событие 0, раннее время которого мы уже определили. В событие 1 входит одна работа – это работа А. Началом работы А является событие 0 (рис. 5). Вычислим для работы А сумму раннего времени события 0 и продолжительности работы А: + =0+7=7. Раннее время события 1 равняется значению этой суммы: =7. Это значение отметим на графике в левом секторе события 1 (рис. 5).

Теперь можно рассчитать раннее время события 2, так как ему предшествуют событие 0 и событие 1. Раннее время события 3 ещё нельзя рассчитать, так как не известно значение раннего времени события 2, которое предшествует событию 3. В событие 2 входят две работы: работа В и работа С. Началом работы В является событие 0, а работы С событие 1 (рис. 6). Для каждой из работ рассчитываем сумму раннего времени работы и продолжительности работы. Для работы В сумма равна: + =0+11=11. Для работы С получаем сумму + =7+4=11. Раннее время события 2 равняется наибольшему значению из полученных сумм: = =11. На графике записываем значение раннего времени события 2 в левом секторе события 2 (рис. 6).

Далее рассчитываем раннее время события 3. Раннее время событий 4 и 5 рассчитать нельзя, так как им предшествует событие 3, для которого раннее время ещё не рассчитано. В событие 3 входят две работы, работа D и работа F. Началом работы D будет событие 1, а работы F событие 2. Рассчитываем суммы для этих работ. Для работы: + =7+8=15; для работы: + =11+6=17. Раннее время события 3 равняется наибольшему значению из найденных значений сумм: = =17. На графике отмечаем раннее время события 3 в его левом секторе (рис. 7).

Сейчас можно рассчитать ранее время события 4, но нельзя рассчитать раннее время событий 5 и 6. В событие 4 входят две работы, работа E, которая начинается событием 1, и работа G, которая начинается событием 3. Рассчитываем суммы для этих работ. Для работы E: + =7+15=22; для G: + =17+9=26. Раннее время события 4 равно: = =26. Отмечаем на графике в левом секторе раннее время события 4 (рис. 8).

Рассчитываем раннее время события 5. В это событие входят работы H и L. Они начинаются событиями 3 и 4. Для работы H сумма равна: + =17+13=30; для работы L: + =26+3=29. Тогда = =30. На графике отмечаем раннее время события 5 (рис. 9).

Теперь можно рассчитать раннее время события 6, которое является конечным. В событие 6 входят работы K, M и N. Они начинаются событиями 3, 4 и 5. Вычислим суммы для этих работ. Для работы K сумма равна: + =17+16=33. Для работы M: + = =26+5=31. Для работы N: + =30+2=32. Раннее время конечного события равно = = =33.

Определяем критическое время проекта. Оно равняется раннему времени конечного события: = =33.

Переходим к расчёту позднего времени наступления событий. Позднее время конечного события равняется критическому времени проекта: = =33. Так как конечным является событие 6, то позднее время события 6 тоже равняется 33: =33. Позднее время события 6 записываем на графике в правом секторе события 6 (рис. 11).

Последовательно найдём позднее время остальных событий, начиная с конечного и заканчивая начальным. Зная позднее время события 6, можно определить позднее время события 5. Находим на графике работы, которые выходят из события 5 и окончания этих работ. Из события 5 выходит работа N, которая заканчивается событием 6. Для этой работы находим разность позднего времени события 6 и продолжительности работы:

– =33–2=31. Позднее время события 5 равняется этой разности: =31. Позднее время события 5 отмечаем на графике в правом секторе этого события (рис. 11).

Рассчитаем позднее время события 4. На сетевом графике находим все работы, выходящие из события 4 (рис. 12). Это работы L и M, которые заканчиваются событиями 5 и 6 соответственно. Для каждой из работ находим разность позднего времени окончания работы и продолжительности работы. Для работы L эта разность равна: – =31–3=28. Для работы M разность принимает значение: – =33–5=28. Наименьшее значение из найденных разностей равняется 28. Позднее время события 4 равно: = =28. Позднее время события 4 отмечаем на сетевом графике в правом секторе события 4.

Теперь можно рассчитать позднее время события 3, так как позднее время событий, следующих за событием 3 (события 4, 5 и 6) уже рассчитаны. Находим работы, которые выходят из события 3. Это работы G, K и H (рис. 13). Они заканчиваются соответственно событиями 4, 6 и 5. Для найденных работ находим значения разностей: для работы G – – =28–9=19, для работы K – – =31–13=18, для работы H – – =33–16=17. Позднее время события 3 равняется наименьшему значению из найденных разностей: = =17. Позднее время события 3 отмечаем в правом секторе этого события (рис. 13).

Рассчитываем позднее время события 2. Из него выходит работы F. Она заканчивается событием 3. Разность для работы F равна: – =17–6=11. Позднее время события 2 равно =11 (рис. 14).

Позднее время события 1 равняется минимальной разности для работ E, D и C:

= =7 (рис. 15).

Осталось определить позднее время события 0. Из события 0 выходят работы А и В (рис. 16). Для них значения разностей равны: – =11–11=0, – =7–7=0. Позднее время события 0 равно: = =0. Так как событие 0 является начальным событием, то данные расчёт будет контрольным. Для начального события позднее время равняется 0. В противном случае при вычислениях допущена ошибка. Контрольное вычисление показало, что =0.

Для событий осталось рассчитать резервы времени событий, которые мы запишем в нижних секторах этих событий. Резерв времени события равен разности позднего и раннего времени события. Найдём резервы времени событий и отметим их на сетевом графике (рис. 17). = – =0–0=0; = – =7–7=0; = – =11–11=0; = –

– =17–17=0; = – =28–26=2; = – =31–30=1; = – =33–33=0.

Выпишем критические события: 0, 1, 2, 3, 6.

2. Рассчитаем полные резервы работ. Для расчёта можно использовать таблицу. В этой таблице представим работу в виде пары событий, определим раннее время начала работы и позднее время окончания работы, выпишем время выполнения работы и рассчитаем полный резерв времени работы (табл. 2). Полный резерв времени работы вычисляем по формуле: = – – . Например, рассчитаем полный резерв времени работы D, которую можно представить как пару событий (1; 3). = = – – =

=17–7–8=2. Это работа некритическая. Поэтому в последней строке её помечать не будем. Рассчитаем полный резерв времени работы F. F =(2; 3). = = – – = 17–11–6=0. Это работа критическая. Поэтому в последней строке её пометим буквой к.

Расчёт полного резерва времени работы Таблица 2

Название работы,

A

B

C

D

E

F

G

H

K

L

M

N

Представление работы в виде пары событий,

(0; 1)

(0; 2)

(1; 2)

(1; 3)

(1; 4)

(2; 3)

(3; 4)

(3; 5)

(3; 6)

(4; 5)

(4; 6)

(5; 6)

Раннее время начала работы,

Позднее время окончания работы,

Продолжительность работы,

Полный резерв времени работы,

Отметка о виде работы

к

к

к

к

к

В последней строке делаем пометку, если работа критическая, то ставим букву к.

По таблице выписываем критические работы: A, B, C, F, K.

3. Построим сетевой график критических работ проекта.

В литературе по-разному изображается график выполнения критических работ. Здесь предлагается такой сетевой график, чтобы показать, что это математическая модель графика выполнения критических работ, так как задача решается математическими методами. На основе этого сетевого графика специалист определяет своё представление о выполняемых работах, удобное для его восприятий и его реализации.

1.Исследование операций в экономике: Учебн. Пособие для Вузов/ под ред. проф. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2010. — 407 с.

2.Экономико-математические методы и прикладные модели: учеб. пособие для студ. вузов по экон. спец./ под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 2002. — 391 с.

3.Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге: учеб, пособие для студ. вузов по спец. " Маркетинг" / В.В. Федосеев, Н.Д. Эриашвили; под ред. В.В. Федосеева. —2-е изд., перераб. и доп. — М.: Юнити, 2001. — 159 с. — Библиогр.: с. 156-157.