Интегралы, встречающиеся при применениях распределения Максвелла.

1. Вычислим так называемый интеграл Пуассона:

, (В.1)

часто встречающийся в теории вероятностей и ее приложениях. Как видно из (В.1), интеграл Пуассона является функцией параметра α. Перемножив два таких интеграла, перейдем затем в полученном выражении от декартовых переменных х, у к полярным r, φ, что позволит просто вычислить этот интеграл:

Откуда находим . Таким образом, интеграл Пуассона

. (В.2)

Выражение В.2 представляет собой тождество, справедливое при любых α > 0. Продифференцировав его по параметру α, получим

. (В.3)

Дифференцируя тождество (В.3) снова по параметру α, будем иметь

. (В.4)

Учитывая, что подынтегральные функции в выражениях (В.3) и (В.4) четные, нетрудно получить следующие тождества:

, (В.5)

. (В.6)

2. Часто при применениях распределения Максвелла встречаются интегралы вида

,

где n – нечетное число. При n =1 интегрирование дает

,

т. е.

. (В.7)

Продифференцируем тождество (В.7) по параметру α. В результате получим

. (В.8)

Дифференцирование второй раз дает

. (В.9)