Дисперсия и ее свойства

Для характеристики рассеивания возможных значений случайной величины около ее среднего значения вводится дисперсия, которая представляет собой среднюю квадратическую разность между значениями случайной величины и ее средним значением, т. е.

. (А.38)

По определению среднего для дискретных случайных величин

, (A.39 а)

где введено обозначение , а для непрерывных величин

. (A.39 в)

Следует отметить, что в качестве меры рассеивания не может быть взята величина , так как она равна нулю для любых случайных величин. В самом деле, используя основные свойства сред­него значения, получим

. (A.40)

Формулу (А.38) можно преобразовать к виду иногда более удобному для использования. Для этого возведем в квадрат величину, стоящую в угловых скобках (А.38) и воспользуемся основными свойст­вами среднего значения.

(A.41)

Таким образом, дисперсия случайной величины X равна среднему квадрату этой величины минус квадрат ее среднего.

Для характеристики рассеивания более целесообразно взять величину, которая имеет размерность самой случайной величины, а не ее квадрата. Поэтому в рассмотрение вводят среднее квадратическое отклонение s _x, которое равно корню квадратному из дисперсии:

. (A.42)

Перейдем к доказательству основных свойств дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины c = constравна нулю.
В самом деле,

. (A.43)

2. Неслучайная величина c = constвыносится из-под знака дисперсии

в квадрате:

. (A.44)

По определению дисперсии

.

Аналогичное свойство получаем для среднего квадратичного отклонения:

.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна

сум­ме их дисперсий:

. (A.45)

По определению

так как на основании выражения (A.37) среднее значение от произведения независимых величин и равно произведению их средних, каждое из которых, согласно (A.40), равно нулю, т. е.

Формулу (A.45) легко с помощью метода индукции распространить на большее число суммируемых независимых случайных величин:

. (A.46)

Подчеркнем, что формулы (A.45) и (A.46) имеют место только для независимых величин.