Свойства среднего значения

1. Среднее от неслучайной величины c = const равно значению этой величины, т. е.

(A.30)

Это свойство следует из того, что постоянная c принимает единственное значение c с вероятностью 1.

2. Еcли с - неслучайная величина, а X - случайная, то

, (A.31)

т. е. постоянную можно выносить за знак среднего значения.

Для доказательства предположим, что X - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности w (x). Обозначив y = cx и подставив его в формулу (A.28), получим

Аналогичным образом доказывается это свойство для дискретной величины X.

3. Среднее от суммы двух случайных величин равно сумме иx средних значений, т. е.

á X + Y ñ = á X ñ + á Y ñ. (A.32)

Докажем это свойство. Пусть X и Y две дискретные случайные величины со следующими законами распределения

, .

Когда X и Y принимают соответственно значения x ₁, x ₂, … x _n;

y ₁, y ₂, … y _m, их сумма Z = X + Y, являясь также случайной величиной, принимает m× n возможных значений, что хорошо видно из следующей таблицы:

,

где P (x_i, y_i) - совместная вероятность того, что случайная величина X приняла значение x_i, а случайная величина Y при этом - значение y_j.

По определению среднего (A.24)

(A.33)

В выражении (A.33) учтено, что

, (A.34)

. (A.35)

Последние два равенства следуют из теоремы сложения несовместных событий. Перепишем соотношение (A.34) в виде

.

Правая часть последнего равенства представляет собой на основании теоремы сложения вероятность того, что величина X + Y примет значение либо (x_i + y ₁), либо (x_i + y ₂), …, либо (x_i + y_m) и, следовательно, равна вероятности того, что X примет значение x_i, т. е. P(x_i). Действительно, если X примет значение x_i, то X + Y примет обязательно одно какое-нибудь значение из x_i + y ₁, x_i + y ₂, …, x_i + y_m и наоборот. Аналогично доказывается выражение (А.35).

Как видно из доказательства, свойство (A.32) справедливо для независимых и для зависимых случайных величин.

По индукции доказанное свойство нетрудно распространить на большее число суммируемых случайных величин :

. (A.36)

4. Среднее от произведения двух независимых случайных величин равно произведению их средних значений.

. (A.37)

Весьма существенно, что это равенство имеет место только для независимых случайных величин.

Доказательство этого свойства проводится аналогично предыдущему. В самом деле

где учтено, что величины X и Y независимы, т. е.

.