Метод обернених різниць Тіле. 1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 14

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 67 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Чисельна реалізація методу Пікара ______

Питання: 1. Постановка завдання

2. Метод Пікара

При побудові математичних моделей більшості реальних фізичних, хімічних, біологічних процесів виникають звичайні диференціальні рівняння або рівняння з приватними похідними. Ми розглянемо наближені способи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, обмежившись при цьому для простоти лише рівняннями першого порядку, дозволеними щодо похідної.

ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ

Визнач рівняння Y'=f(x, Y) і початкова умова Y(х₀)=Y₀. Потрібно знайти з заданим ступенем точності наближене рішення Y = Y (х), що задовольнить початковому умові і рівнянню на деякому відрізку [a, b], де a=X₀.

Метод Пікара.

Нагадаємо відомі теореми Пікара і Пеано про існування і єдиності рішення даного завдання (задачі Коші).

Теорема Пеано стверджує, що рішення задачі Коші існує в деякій околиці точки Хо, якщо функція f (x, Y) безперервна в околиці точки (Xо, Yо).

Теорема Пікара свідчить, що якщо не тільки функція f (x, Y), а й її приватна похідна f'у (x, Y) також неперервна в околиці точки (Хо, Уо), то рішення задачі Коші єдино на деякому відрізку, що містить точку Хо.

Доказ теореми Пікара випливає з загального принципу стискаючих відображень, воно дуже непросто, але має суттєву перевагу-воно конструктивно. Причому послідовність функцій Yn (x), яка будується в ньому, сходиться до вирішення рівномірно на відрізку зі швидкістю геометричної прогресії. У методі Пікара послідовність функцій Yn (x) будується за рекуррентной формулою:

при n = 0, 1, 2,...,

а за нульове наближення береться константа Y₀: Y₀ (х)º Y₀.

Для того, щоб стало зрозуміло походження цієї рекурентної формули, зауважимо, що інтегральне рівняння

еквівалентно вихідної задачі Коші, оскільки будь-яка функція Y (х), що є його рішенням, задовольняє початковому умові Y (Хо) = Yо і рівнянню Y '(х) = f (x, Y (х)) і навпаки.

Питання: Чому це дійсно так?

Приклад 4.1 Застосуємо метод Пікара для рішення рівняння Y '= Y з початковою умовою Y (0) = 1. Таке завдання еквівалентна пошуку рішення інтегрального рівняння Y=1+ò Y(t)dt.

В якості початкового наближення беремо функцію Yо = 1.

Тоді Y1=1+ò Yо(t)dt= 1+ò dt= 1+x.

Далі, Y2= 1+ò Y1(t)dt= 1+ò (1+t)dt= 1+x+x²/2.

Y3= 1+ò Y2(t)dt= 1+ò (1+t+t²/2)dt= 1+x+x²/2+x³/6.

Можна переконатися, що Yn= 1+х+x²/2+... +xⁿ/n!.

Вправа 4.1.Доказать останнє рівність строго, використовуючи принцип математичної індукції.

Вправа 4.2.В прикладі 4.1 знайти точне рішення Y (Х) і оцінити швидкість рівномірної збіжності Yn (x) -> Y (Х) на відрізку [0, 1].

В цілому, наближені методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь можна розбити на 3 типи:

• аналітичні, що дозволяють отримати наближене рішення Y (х) у вигляді формули,

• графічні, що дають можливість наближеного побудови графіка рішення Y (х), тобто інтегральної кривої,

• чисельні, в результаті застосування яких виходить таблиця наближених значень функції Y (х),

хоча такий розподіл і кілька умовно.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Постановка завдання.

2. Метод Пікара

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 1314

© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.