Критерии подобия в гидродинамике

При исследовании движения тел в потоке вязкой жидкости в особенности таких, как самолёты, корабли, автомобили и так далее невозможно находить их оптимальную форму на основе лишь теоретических исследований. Многие задачи приходится решать экспериментально. При постановке гидродинамического эксперимента на моделях возникает вопрос, по каким правилам должна быть изготовлена модель испытуемого объекта и по каким зависимостям следует пересчитать данные опытов, чтобы получить достоверные данные по описанию гидродинамики реального объекта. Ответ на этот вопрос даёт теория подобия. В теории подобия различают геометрическое, кинематическое и динамическое подобия. Чтобы осуществить совпадение граничных условий в натуральных условиях и в эксперименте, необходимо потребовать геометрического подобия тел и их расположения в пространстве относительно потока. (рис. 5.2.). Помимо геометрического необходимо соблюсти кинематическое подобие, то есть отношения скоростей в сходных точках модели и натурального объекта должна быть постоянна. Этот же вывод должен соблюдаться и относительно сил приложенных в таких точках, то есть должно выполняться динамическое подобие.

Рис.5.2. Геометрическое подобие потоков жидкости

Из приведённых определений следует, что кинематическое и динамическое подобие может выполняться лишь при наличии геометрического подобия. Из определений кинематического и динамического подобия следует, что если эти подобия обеспечены, то безразмерные координаты сходных точек, а так же безразмерные скорости и безразмерные силы в этих точках одинаковы. Физические параметры как в промоделированном потоке, так и в реальном, связаны системой дифференциальных уравнений, описывающих жидкости. Но если потоки подобны, то сами уравнения в безразмерном виде и безразмерные комплексы, входящие в эти уравнения, должны быть одинаковы. Ограничимся исследованием подобия потоков вязкой несжимаемой жидкости. Приведём уравнения описывающие движение рассматриваемой жидкости (уравнения Навье-Стокса) к безразмерному виду, для чего введём характерные величины: -длина, -скорость, -давление, -сила. Введённые характерные величины можно рассматривать как масштабы длины, скорости, давления и силы. Обозначив безразмерные величины индексом 1, получим

(5.8)

Отсюда

. (5.9)

Подставляя (5.8) и (5.9) в уравнения (5.6) и разделив полученное уравнение движения жидкости на приходим к дифференциальному уравнению в безразмерном виде

(5.10)

Безразмерные множители, входящие в уравнение (5.10), называются числами подобия. Как видно из уравнения таких чисел четыре и каждое носит имя автора, который ввёл это число в употребление:

– число Эйлера; – число Фруда;

- число Струхаля; - число Рейнольдса.

Тогда справедливо

. (5.11)

Исходя из уравнения, течения будут подобны если при одинаковых безразмерных уравнениях и граничных условиях, одинаковы и числа подобия. Однако, на практике почти невозможно совпадения всех чисел подобия. Рассмотрим случай стационарного течения вязкой жидкости. Если за характерное давление выбрать величину скоростного напора , то уравнение (5.11) запишется в виде

(5.12)

Следовательно, при соблюдении геометрического подобия, совпадение уравнений произойдёт при совпадении чисел Фруда и Рейнольдса. Обозначим характерные величины натурального течения , а промоделированного . Для подобия потоков должны выполнятся соотношения

, (5.13)

однако такое невозможно. Действительно, при равных коэффициентах вязкости отношение , так как натуральный объект больше модельного, но из равенства чисел Фруда следует, что тогда модельная скорость должна быть меньше натуральной . В тоже время, чтобы выполнялось равенство чисел Рейнольдса при , необходимо чтобы . Следовательно, при исследовании данного течения одновременное выполнение условия (5.13) невозможно, поэтому на практике в зависимости от конкретной задачи требуют выполнения одного из чисел подобия. В тех задачах, где существенную роль играют силы тяжести при моделировании течения пользуются числом Фруда. Число Рейнольдса, полученное как отношение коэффициентов при инерционных членах уравнения к коэффициентам характеризующих вязкие силы, определяет порядок отношения этих сил. Для иных течений числами подобия могут быть число Струхаля или Эйлера.