Основные типы задач и методы их решения. 1. Расчет сопротивлений, падений напряжения, токов утечки в сплошной проводящей среде.

а) Классификация

1. Расчет сопротивлений, падений напряжения, токов утечки в сплошной проводящей среде.

Метод решения. Непосредственное интегрирование выражения . Использование закона Ома в дифференциальной и интегральной форме.

2. Расчет электрических цепей (нахождение токов, падений напряжений и т.д.).

Метод решения. Использование обобщенного закона Ома, правил Кирхгофа. При их использовании рекомендуется придерживаться следующего правила знаков: ток берется со знаком плюс, если его направление (заданное или предлагаемое) совпадает с выбранным направлением обхода контура или участка цепи; ЭДС источника берется со знаком плюс, если направление сторонних сил совпадает с выбранным направлением обхода.

3. Расчет работы, тепловой мощности, КПД источника тока.

Метод решения. Использование закона сохранения энергии, закона Джоуля-Ленца.

4. Переходные процессы в цепи с конденсатором (зарядка и разрядка конденсатора).

Метод решения. В процессах разрядки и зарядки конденсатора ток можно считать квазистационарным, т.к. его изменение происходит не слишком быстро. Квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только их применять к мгновенным значениям величин.

б) Примеры решения задач

1. Цилиндрический воздушный конденсатор с внутренним (R₁) и внешним (R₂) радиусами заряжен до разности потенциалов . Пространство между обкладками заполняют слабопроводящей средой с удельным сопротивлением ρ. Определить силу тока утечки, если высота конденсатора равна h.

Решение.

В случае слабопроводящей среды изменением разности потенциалов можно пренебречь, считая = соnst. Так как участок однородный, то

,

где R – полное сопротивление участка.

Величину R определим путем интегрирования. Элементарное сопротивление тонкостенного цилиндрического слоя толщиной dr и радиусом r составляет

,

откуда

.

Следовательно,

.

2. Определить сопротивление изоляции на один погонный метр длины провода диаметром d = 2 мм, если диаметр наружной проводящей оболочки равен D = 4 мм, а удельное сопротивление фарфоровой изоляции равно ρ =10¹³Ом·м.

Решение.

По закону Ома в дифференциальной форме

.

Напряженность электрического поля Е выразим через потенциал

,

где U ₀ – напряжение между проводом и наружной оболочкой изоляции.

С учетом получененного выражения

,

а полный ток, отнесенный к длине провода l, будет

.

Таким образом, в соответствии с законом Ома сопротивление изоляции на единицу длины будет

Ом.

3. Определить силу тока, текущего через элемент ε ₂, если ε ₁ = 1 В, ε ₂ = 2 В, ε ₃ = 3 В, r ₂ = 1 Ом, r ₂ = 0, 5 Ом, r ₃ = 1/3 Ом, R ₄ = 1 Ом, R ₅ = 1/3 Ом.

Решение.

Для расчета цепи воспользуемся правилами Кирхгофа. Сначала выберем произвольно направление токов в ветвях так, как показано на рисунке. В соответствии с первым правилом Кирхгофа для узла А получим

I₁ +I₂ +I₃ = 0.

Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Выберем теперь за положительное направление обхода замкнутых контуров направление по часовой стрелке. По второму правилу Кирхгофа для контуров АВСА и ACDA будем иметь

- ε ₁ + ε ₂ = -I₁ (R ₄ + r ₁) + I₂ r ₂;

- ε ₂ + ε ₃ = I₃ (r ₃ + R ₅) – I₂ r ₂.

Решая полученную систему уравнений, находим

А, А, А.

Знак “-” в значениях сил токов I₁ и I₂ показывает, что выбранное направление ошибочно. В действительности токи I₁ и I₂ текут в обратном направлении.

4. К источнику с электродвижущей силой ε подключены последовательно конденсатор емкостью С и резистор R. Найти закон изменения со временем заряда на обкладках конденсатора. Определить работу, совершаемую источником при заряде конденсатора, и количество теплоты, выделяющейся при этом в цепи.

Решение.

На основании обобщенного закона Ома получим

.

После разделения переменных уравнение примет вид

.

Интегрируя данное выражение в пределах от 0 до t и от 0 до q, после потенцирования получим закон изменения со временем заряда на обкладках конденсатора

.

Работа, совершаемая источником за все время зарядки конденсатора,

,

где q_к = Сε – конечный заряд конденсатора.

Количество теплоты, выделившейся за все время зарядки на сопротивление R, может быть найдено из закона сохранения энергии

где - энергия заряженного конденсатора.

С учетом найденного значения А_ист получим

.

Это выражение может быть получено и независимым путем из закона Джоуля-Ленца:

;

.