C2 - критерий Пирсона

Критерий применяется в двух случаях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим (равномерным, нормальным или каким-то иным);

2) для сопоставления двух эмпирических распределений одного и того же признака.

Критерий отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух эмпирических распределениях.

Признак может быть измерен по любой шкале, даже номинальной.

Ограничения:

1) n³ 30;

2) теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f³ 5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы можем применять метод c², только накопив определенное минимальное число наблюдений. Так, если количество разрядов (k) задано заранее, минимальное число наблюдений (n_min) определяется по формуле: n_min= 5 k

3) выбранные разряды должны «вычерпывать» все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях;

4) необходимо вносить поправку на непрерывность при сопоставлении распределений признаков, которые применяют всего 2 значения. При внесении поправки значение c² уменьшается;

5) разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может отнесено ни к какому другому разряду.

Вычисление критерия:

1) при сравнении эмпирического с теоретическим равномерным распределением. Для этого лучше воспользоваться таблицей 34.

Таблица 34

Здесь в 1 столбике даются наименования разрядов,

во 2 столбике даются эмпирические частоты по каждому разряду f_эj, где j меняется от 1 до k,

в 3 столбике теоретическая частота, одинаковая для каждого разряда и вычисленная по формуле f_т=n/k,

в 4 столбике находится разность между эмпирической и теоретической частотами по каждому разряду,

в 5 столбике значения 4 столбика возводятся в квадрат по каждому разряду,

в 6 столбике находится отношение значений 5 столбика к теоретической частоте по каждому разряду.

Эмпирическое значение критерия есть сумма значений 6 столбика, т.е.

Далее находим число степеней свободы по формуле n=k-1 и определяем для данного n критические значения критерия (таблица 5 приложения 2).

Если c²> c²_{0, 01}, то эмпирическое распределение отличается от равномерного, если c²£ c²_{0, 05}, то эмпирическое распределение не отличается от равномерного, если c²_{0, 05}< c²£ c²_{0, 01,} то отличие эмпирического распределения от равномерного значимо на 5% уровне.

Таблица 35

Распределение учащихся по когнитивному стилю «дифференциальность-интегральность» и расчет данных по критерию c²

Пример. У учащихся подросткового возраста (60 человек 13-14 лет) выявлялся когнитивный стиль «дифференциальность-интегральность» по методике Г.А. Берулава. В каждом стиле выделяются три стратегии: теоретическая, деятельностная, эмоциональная. Распределение учащихся по стилям представлены в таблице 35. Можно ли утверждать, что в данной группе учащихся равномерно представлены все данные стили?

Решение: n=60 > 30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение учащихся по стилям «дифференциальность-интегральность» с тремя стратегиями является равномерным.

к=6, следовательно, f_т=60/6=10.

Для n=к-1=6-1=5

c²_{0, 05}=11, 070 c²_{0, 01}=15, 089

c²> c²_{0, 01}, следовательно, экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: распределение учащихся по стилям «дифференциальность-интегральность» с тремя стратегиями отличается от равномерного.

2) При сравнении двух эмпирических распределений:

Вычисления также произведем с помощью таблицы 36.

Таблица 36

Здесь в 1 столбце записывается наименование разрядов,

во втором столбце записываются соответствующие частоты первого эмпирического распределения (f_э1j), где j меняется от 1 до к,

в третьем столбце записываются соответствующие частоты второго эмпирического распределения (f_э2j),

в 4 столбце находится сумма эмпирических частот первого и второго распределения по каждому разряду отдельно (f_э1j+f_э2j),

в 5 столбце записывается теоретическая частота каждого разряда первого эмпирического распределения, вычисленная по формуле:	;
в 6 столбце записывается теоретическая частота каждого разряда первого эмпирического распределения, вычисленная по формуле:	;

в 7 столбце находится квадрат разности соответственно эмпирической частоты первого распределения с его теоретической частотой по каждому разряду и делится на эту теоретическую частоту ((f_э1j-f_т1j)²/ f_т1j),,

в 8 столбце находится квадрат разности соответственно эмпирической частоты второго распределения с его теоретической частотой по каждому разряду и делится на эту теоретическую частоту ((f_э2j-f_т2j)²/ f_т2j).

Значение критерия есть сумма всех значений 7 и 8 столбцов, т.е.

.

Далее также находится число степеней свободы n и по таблице 5 приложения 2 находятся критические значения.

Если c²> c²_{0, 01}, то одно эмпирическое распределение отличается от другого, если c²£ c²_{0, 05}, то первое эмпирическое распределение не отличается от второго, если c²_{0, 05}< c²£ c²_{0, 01,} то отличие двух эмпирических распределений друг от друга значимо на 5% уровне.

Пример. У учащихся подросткового возраста массовой школы (25 человек) и воспитанников детского дома (25 человек) определялись особенности образа «я» по методике «Каким я кажусь себе». В результате выделилось 7 категорий высказываний о себе. Данные представлены в таблице 36. Различается ли распределение количества высказываний о себе по категориям подростков детского дома и массовой школы?

Решение: n₁=88 (количество высказываний подростков массовой школы о себе), n₂=111 (количество высказываний подростков детского дома о себе). n₁, n₂ > 30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение высказываний подростков детского дома и массовой школы о себе по различным категориям существенно отличаются.

Вычислим эмпирическое значение критерия в таблице 37.

Таблица 37

Количество высказываний подростков детского дома и массовой школы о себе и расчет критерия c²

Категории высказывания:

1) формально-библиографические ролевые сведения; 2) отношения к окружающим людям; 3) отношение к своему возрасту, взрослости, самостоятельности; 4) умения, интересы, способности, интеллект; 5) поведение; 6) качества личности; 7) внешность, отношение к сверстникам противоположного пола.

χ ²_эмп=0, 81+0, 33+1, 67+8, 27+4, 69+0, 01+5, 19+0, 53+0, 26+1, 33+6, 55+3, 72+0, 01+4, 1=37, 47;

Найдем число степень свободы ν =7-1=6.

Для ν =6 χ ²_{0, 01}=16, 812; χ ²_{0, 05}= 12, 592.

χ ²_эмп > χ ²_{0, 01}Þ принимается экспериментальная гипотеза.

Ответ: Количество высказываний о себе, относящихся к разным категориям, у подростков детского дома отличаются от количества высказываний подростков массовой школы.

Поправка на непрерывность вносится тогда, когда n=1. Формула тогда имеет следующий вид:

.

Пример. У студентов I курса педагогического вуза (факультетов физики и математики, биологии и химии, филологии) выявлялась принадлежность к когнитивному стилю «полезависимость-поленезависимость» по методике «Замаскированные фигуры» Готтшальтда. Результаты исследования представлены в таблице 37. Выявляются ли половые различия в принадлежности к данным стилям?

Решение: n₁=49 (количество юношей), n₂=53 (количество девушек), n₁, n₂ > 30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу. Юноши и девушки студенты по принадлежности к когнитивному стилю «полезависимость-поленезависимость» различаются.

Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 38.

Таблица 38

Распределение девушек и юношей по принадлежности к стилю «полезависимость-поленезависимость» и расчет значения критерия χ ²

к=2, следовательно, n=1.

Для данного n - χ ²_{0, 01}=6, 635; χ ²_{0, 05}= 3, 841.

χ ²_эмп > χ ²_{0, 01}Þ принимается экспериментальная гипотеза.

Ответ: юноши и девушки по принадлежности к когнитивному стилю «полезависимость-поленезави-симость» различаются.