Применение метода наименьших квадратов для обработки экспериментальных данных

Рассмотрим данную методику на конкретном примере.

По результатам измерения шатунных шеек двигателей в зависимости от зазора в подшипниках получены данные.

Таблица 13.1. Результаты измерений шатунных шеек.

Зазор S, мкм
Интенсивность изнашивания,, мкм/104 км	3, 30	5, 5	11, 3

Необходимо определить параметры а0 и b в линейной зависимости

(13.1)

Эти параметры можно определить по способу наименьших квадратов:

(13.2)

bm_S ^* (13.3)

где K_S ^* – смешанный момент;

D_S ^*– дисперсия случайной величины S; m ^*– среднее значение случайной величины m_S ^* – среднее значение случайной величины S

– интенсивность изнашивания, приведенная к началу отсчета зазора.

Найдем средние значения S и:

3, 30 5, 5 11, 3 ⁴ км

m 6, 7 мкм/10 n 3

S 10 60 170

m_S 80мкм n 3

Распишем формулы для нахождения смешанного момента K_S ^*, дисперсии

D_S ^*, D ^*, среднеквадратического отклонения

K (13.4)

D (13.5)

(13.6)

(13.7)

Проанализировав формулы можно составить таблицу составляющих, что облегчит расчет необходимых параметров.

Таблица 2

Si		Si–ms		Si mS		mi				Si mS
	3, 30	-70		-3, 4	11, 6		4, 336
	5, 50	-20		-1, 2	1, 44		6, 02
	11, 30			4, 6	20, 26		9, 712
	20, 1				33, 90		20, 068

-4

Рассчитав, записываем значения в таблицу, строим графики интенсивности износа (рис. 13.1).

Проанализируем степень соответствия экспериментальной зависимости (S) линейной зависимости.

Коэффициент корреляции:

^r (13.9)

225, 3 10 ⁴

r ₄ 0, 654

4, 2 10 82

0, 5< 0, 654< 0, 7 – теснота связи полученных экспериментальных данных прямолинейной зависимости умеренная, ближе к высокой.

Погрешности при прогнозировании величины интенсивности изнашивания шатунных шеек может служить характеристикой соответствия полученной зависимости экспериментальным данным.

Рис. 13.1. Зависимость интенсивности износа от зазора S:

1– экспериментальная кривая интенсивности износа от зазора S;

2– аналитическая линейная зависимость (S).

Если за исходные принять первые две точки (при 10 и 60 мкм), то b 0, 044

Интенсивность изнашивания при зазоре 170 мкм составит

5, 5 0, 044 170 10, 34 мкм10^-4км

А по экспериментальным данным интенсивность равна 11, 3 мкм10^-4км, тогда погрешность составит:

11, 3 10, 34 1 мкм 10^-4км

Если бы мы приняли, что интенсивность изнашивания – величина постоянная, то тогда = 3, 3 мкм10^-4км, а погрешность

11, 3 3, 3 8 мкм 10^-4км, т.е. в 8 раз больше.