Решение типовой задачи. Рассмотрим сначала невосстанавливаемые изделий т.е

Задача №1

Рассмотрим сначала невосстанавливаемые изделий т.е. изделия, заменяемые после первого отказа. Пусть под нашим наблюдением находится 75 термостатов автомобильных двигателей (N o). Термостаты — изделия неремонтируемые. Будем фиксировать наработки, при которых произойдут отказы термостатов, и сведем полученные данные в табл. 1. Зафиксированный первичный учет наработок термостатов до отказа здесь не приводится. Таблицу составим следующим образом.

Среди зафиксированных наработок найдем минимальную t_min и максимальную t _max. В нашем случае t_min = 8 тыс. км и t _max=97 тыс. км (эти данные содержатся в картах первичного учета). Определим диапазон наработок, внутри которого имели место отказы:

R=tmax - tmin

В нашем примере R = 97 — 8=89 тыс. км.

Разделим диапазон R на интервалы, внутри которых сгруппируем всю совокупность наработок. Длину интервала рекомендуют подсчитывать по формуле:

Δ t=R/( 1+3.3lg N o )

Таблица 2

=10 тыс. км.

Зададимся левой t лев и правой t прав границами интервалов группирования.

t лев должна быть меньше t _min, а /прав — больше t _max- Примем t лев = 0, а t прав=100 тыс. км. Тогда число интервалов

k = 100/10 =10. Пронумеруем интервалы от i =l до i =10 и впишем их в таблицу 1 Найдем середины каждого интервала: t_i = 5; 15;...; 95 тыс. км. Впишем в соответствующие графы число изделий п_i, отказавших внутри каждого интервала. Это число называют весом. Если какое-то число отказов окажется на границе интервалов, то в каждый смежный интервал прибавляют по 1/2 наблюденного числа отказов. Например, пусть зафиксировано восемь отказов при наработке t = 80 тыс. км. Тогда в интервалы № 8 и № 9 надо добавить по четыре отказа.

Прежде чем продолжить изучение других показателей надежности, познакомимся с такими понятиями, как генеральная совокупность и выборка.

Автопредприятие обычно интересуется надежностью находящихся в его распоряжении автомобилей. Генеральной совокупностью в нашем случае будет называться совокупность машин одной марки, надежность которых изучается. Допустим, на автопредприятии эксплуатируется 300 автомобилей ЗИЛ-130. Мы наблюдаем за надежностью их термостатов. По разным причинам бывает трудно или даже невозможно следить за их поведением на всех машинах: иногда надо вынимать термостаты для осмотра, что не всегда удается осуществить, так как автомобили бывают в далеком рейсе. Тогда из всех автомобилей ЗИЛ-130 автопредприятия отбирают случайным образом часть машин, например 75 штук. Эта часть генеральной совокупности, которая попала на исследование, называется выборкой. С некоторой уверенностью можно судить о надежности всех 300 термостатов, т. е. генеральной совокупности, по их поведению в выборке. Эта уверенность тем выше, чем ближе друг к другу условия, в которых эксплуатируются машины; и чем больше машин в выборке. Само собой разумеется, что конструкция как автомобилей в целом, так и их двигателей и термостатов в генеральной совокупности и в выборке должны быть одинаковыми. Одинаковой должна быть и охлаждающая жидкость.

Данные, сведенные в таблице 1, и есть результат наблюдения за выборкой, когда 75 термостатов после определенной наработки отказали. Выборка, когда все поставленные на испытания объекты доработали до отказа, т. е. закончили испытания, называется полной. Если же испытания прекращены до того, как все изделия в выборке отказали, то последняя называется усеченной.

Покажем порядок определения важного показателя надежности, с помощью которого оценивается безотказность, — средней наработки до первого отказа (математическое ожидание наработки до первого, отказа):

t _ср = 1/75 [(5*1)+ (15*1) + (25*0) + (35*5) + (45*10) + (55*16) +

+ (65*19) + (75*15) + (85*7) + (95*1)] = 61 тыс. км, т. е.

tср=1/No(t1 n1+ t2 n2+…+ti ni +…+tr nr) = k t i n i (1)

i 1 N 0

где k – число интервалов.

Так как число отказов в интервале п_г называют весом, то определенное нами значение t _cpназывается средневзвешенным (смысл значка ^ будет объяснен дальше).

По мере увеличения наработки возрастает число отказавших изделий и убывает соответственно число работоспособных.

Подсчитаем накопленное число отказов г (ti) как сумму отказов в интервалах и соответственно число остающихся работоспособными изделий N(ti). Очевидно, что r(ti)+N(ti) =75. Изобразим графически изменение числа отказов от интервала к интервалу. Получим столбчатый график, который называется гистограммой (рис. 1).

Более полное, а главное, обобщенное представление о надежности дают не абсолютные, а относительные (удельные) значения полученных данных. Так, вместо абсолютных значений числа отказов в интервале п_г целесообразно подсчитать отношение ω _i = n_i/N₀, т. е. долю отказов в интервале, приходящуюся на одно изделие из числа находящихся под наблюдением. Это отношение называется частостью. Если разделить частость на длину интервала Δ t, то получим долю отказов в интервале, приходящуюся на одно испытываемое изделие и на единицу наработки, т. е. на одну тысячу километров

пробега. Эта удельная величина f(t_i)=n_i/ Δ tN ₀ (2)

называется оценкой плотности вероятности наступления отказа (оценка плотности распределения наработки до

отказа). Рис. 1 Гистограмма распределения числа n, частости ω и плотности f (t)

отказов в зависимости от наработки t

Так как для данного примера величины Δ t и N _Qпостоянны, то высоты столбиков гистограмм п_i, ω _i и f(t_i) отличаются только масштабом.

Вместо выражения в абсолютных единицах накопленного числа рабоспособных к данному моменту наработки t_i изделий N(t_i) целесообразно использовать отношение

P^ˆ (t_i)=N (t_i)/N₀=[ N₀-r(t_i)]/ N₀= (N₀-

характеризующее на момент t_i наработки долю работоспособных изделий по отношению к находящимся под наблюдением (накопленная частость безотказной работы). Аналогично, соответствующая доля отказавших изделий

(накопленная частость отказов) определится из отношения

F^ˆ (t_i)=r (t_i)/N_o=1-P(t_i)=

Если увеличивать число испытываемых изделий, а величину интервала уменьшать (Δ t→ 0), то гистограмма, изображающая P(ti), сгладится и превратится в плавную линию, которую называют невозрастающей кривой убыли P(ti), (функция распределения безотказной работы). В плавную неубывающую кривую F(ti) (функция распределения отказов) обратится также гистограмма F(ti) То же самое будет с гистограммой, где показана оценка плотности вероятности наступления, отказа f(ti). Мы получим плавную кривую плотностивероятности наступления отказа f(ti) (рис. 2) (иначе — плотности распределения наработки до отказа). Значок ^показывает, что подсчитанный результат получен из статистической обработки опытных данных, т. е. из наблюдений за выборкой. Такой результат называют статистической оценкойплотности вероятности, или эмпирической, т. е.

полученной из опыта плотностью вероятности.

Вернемся к гистограмме, изображающей f(ti) (рис. 2). Площадь каждого столбика равна его высоте f(ti), умноженной на длину Δ t,

fˆ (t_i ) t n/ N₀

Сумма площадей столбиков от нуля до какой-то наработки t_i определяет выражение

Сумма площадей оставшихся столбиков определится из разности

1

Но поскольку из формулы ()

P ˆ (t_i ) F ˆ (t _i ) 1

Вероятностью безотказной работы P(t) называется вероятность того, что в пределах заданной наработки не возникнет отказ изделия. Статистически P(t) определяется отношением числа оставшихся работоспособных изделий N(t_i) к моменту наработки t_i к общему числу изделий N _O().

Аналогично оценка вероятности наступления отказа выражается уравнением (4). Таким образом, оценками вероятности без, отказной работы и вероятности наступления отказа являются накопленные частости безотказной работы и отказов.

Площадь под кривой f(t) (рис. 2) на участке от 0 до t

t

(t) dt F (t) а площадь на участке от t до ∞

1

t

Следовательно, сумма вероятностей безотказной работы и наступления отказа равна 1. Это следует также из того, что безотказность и появление отказа — события противоположные.

Интенсивность отказов невосстанавливаемых изделий есть отношение числа отказавших изделий в единицу наработки к числу изделий, безотказно работающих к рассматриваемому моменту наработки:

ˆ (t _i ) n_t / tN (t_i )

Умножив и разделив правую часть на N _o, то получим

ˆ (ti) ni N 0

tN₀ N(t_i )

Так как n_i / tN ₀ f ˆ (t_i ), а N (t_i )/ N ₀ P ˆ (t_i ),

то

ˆ (t_i ) f ˆ (t_i )/ P ˆ (t_i )

По определению

ˆ ni N (ti t) N (ti) N 0 P ˆ (ti t) P ˆ (ti)

(t_i )

tN(t_i ) tN(t_i )

Интенсивность отказов определяется как вероятность отказа невосстанавливаемого изделия в единицу времени после данного момента времени при условии, что отказ до этого времени не возник.

Типичное изменение интенсивности отказов представлено на рис. 3. На графике четко видны участки:

I — участок приработки, на котором имеют место приработочныеотказы, вызываемые небрежностью в производстве, скрытыми дефектами, осадкой сопряженных поверхностей. Наиболее характерные из них применительно к двигателям — подтекание масла и охлаждающей жидкости в соединениях и уплотнениях, поломки пружин и мелких деталей и т. п. Эти отказы обычно бывают внезапными;

tPˆ (t_i )N₀

Рис. 3. Типичное изменение интенсивности

(t) и плотности f(t) отказов в зависимости от наработки t

II — участок нормальной. эксплуатации. Интенсивность отказов, а значит, и их количество

сравнительно невелики. Здесь также наиболее характерные отказы внезапные;

III — участок износа; Хотя износ имеет место также на первых двух участках, он не проявляется в виде отказов, так как зазоры между трущимися деталями находятся в допустимых пределах. Этот участок характерен появлением постепенных отказов, вызываемых как собственно износом, так и другими выявляемыми со временем неисправностями: коррозией, усталостью, короблением. Не исключено, конечно, появление на этом участке и внезапных отказов. Наработка к моменту выхода на этот участок обычно определяет.общую долговечность изделия. На рис. 3 наряду.с кривой λ (t) изображена кривая плотности распределения наработки до отказа f(t). Из графика видно, что в начальный период кривые λ (t) и f(t) проходят близко друг от друга. Однако со временем абсолютное число отказов уменьшается и кривая f(t) на участке II снижается, так как становится все меньше работоспособных изделий. Это приводит к тому, что f(t) в конце участка III стремится к нулю. Действительно, в знаменателе формулы (2) стоит N о, т. е. постоянная величина, равная числу испытываемых изделий. Однако интенсивность отказов K(t} -возрастает, так как в знаменателе формулы (10) стоит число работоспособных изделий N(ti). К концу /// участка N(ti) стремится к нулю и, следовательно, K(t) стремится.

Напомним еще раз, что один и тот же показатель надежности по-разному обозначен: со значком ^ и без него. Речь шла в первом случае о показателях, подсчитанных по результатам наблюдений над конкретной партией изделий (выборкой), а во втором (без значка) — подсчитанных из теоретических соображений, когда число деталей а ширина интервала.

В первом случае имеют место статистические характеристики, которые называют также эмпирическими, а во втором — вероятностные. Разъяснение этих характеристик напечатано мелким шрифтом.

Средняя наработка до отказа t _cpможет быть определена из формулы (1) следующим образом:

tˆ ср

i

i

t ni / N0

k

i

i

i

tN

n

tt

/

0

Так как

Величину t _cpможно определить по площади под кривой P(t) на рис. 4 с учетом масштаба. Из этого следует, что при вероятности безотказной работы, выраженной на рис. 4 кривой 1, средняя наработка до первого отказа больше, чем в двух других случаях.

Для восстанавливаемых объектов безотказность оценивается показателями: средняя наработка до отказа, вероятность безотказной работы, наработка на отказ, среднее число отказов, характеристика и параметр потока отказов, ресурс непрерывной работы.

Построим график работы машины, откладывая, на оси времени (наработки) I промежутки, соответствующие различным состояниям (рис.4).

В момент О изделие начинает работать. В моменты, обозначенные х, происходят отказы и требуется время В на ремонт.

В какие-то периоды проводится техническое обслуживание ТО. Так будет до конца работы изделия, когда оно будет снято с эксплуатации и списано. Выделим участки P, v когда изделие работало (рис. 5).Полученный график является графиком потока отказов..

Чем длиннее участки Р и чем короче участки В и ТО, а также чем их меньше, тем изделие надежнее.

Задача № 1:

Под наблюдением находятся аккумуляторные батареи 6СТ90. На АТП эксплуатируются Асп автомобилей из которых выборка составляет No автомобилей. Среди зафиксированных наработок обнаружена минимальное t_min и максимальная t_max. Число отказов в интервале фиксируем самостоятельно исходя из кривой интенсивности отказов, учитывая что максимальное число отказов приходится на пробег от 70 до 100 тыс. км.

Определить: 1. диапазон наработок R, внутри которого имели место отказы, разбить диапазон R на интервалы, найти длину интервала.

2. число отказов к моменту t_i, число работоспособных объектов к моменту t_i, относительную долю отказов в интервале, накопленную частость отказов F(t), накопленную частость безотказной работы P(t), оценку плотности распределения наработки до отказа.

3. среднюю наработку до первого отказа и интенсивность отказов по каждому интервалу.

4. построить гистограмму распределения числа n, частости ω и плотности f(t) отказов в зависимости от наработки t.

5. построить график изменения интенсивности λ (t) и плотности f(t) отказов в зависимости от наработки t.

Варианты заданий для контрольной работы