Задание № 1. Условные данные по регионам приведены в таблице 1.

Условные данные по регионам приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

7. Осуществить проверку полученных результатов с помощью Excel.

Решение

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии рассчитаем таблицу 2.

Таблица 2 – Вспомогательная таблица для расчета недостающих показателей

						x	y- x
						155, 0	6, 00	3, 73
						129, 5	1, 48	1, 13
						135, 9	-0, 89	0, 66
						157, 1	-10, 12	6, 88
						143, 3	-4, 32	3, 11
						148, 6	2, 37	1, 57
						142, 3	-7, 26	5, 38
						133, 8	-1, 77	1, 34
						146, 5	14, 50	9, 00
Итого						1292, 0	0, 00	32, 80
Среднее значение	86, 22	143, 56	12451, 2	7503, 6	20734, 2	–	–	3, 64
	8, 32	11, 23	–	–	–	–	–	–
	69, 28	126, 02	–	–	–	–	–	–

где σ _x - дисперсия факториального признака:

σ _y - дисперсия результативного признака:

A_i – относительная ошибка аппроксимации

;

Получено уравнение регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 Д.Е. среднедневная заработная плата должна бы возрасти в среднем на 1, 06 Д.Е.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Это означает, что 62% вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия рассчитаем по следующей формуле (n- количество наблюдений).

Табличное значение критерия Фишера можно определить используя функцию MS Excel «FРАСПОБР» (рис. 2), задавая параметры k1 = 1, k2 = 9 – 2 = 7, вероятность α = 0, 05.

Рисунок 2 - Окно функции FРАСПОБР

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и, k₂ = 9 – 2 = 7 составляет F _табл = 5, 59. Так как F _факт = 11, 39> F _табл = 5, 59, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение критерия Стьюдента можно определить используя функцию MS Excel «СТЬЮДРАСПОБР» (рис. 3), задавая параметры k = 7, вероятность α = 0, 05.

Рисунок 3 - Окно функции СТЬЮДРАСПОБР

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы df=n-2=9-2=7 и составит .

Далее определим случайные ошибки , , :

где

Тогда

Сравним фактические значения -статистики с табличными значениями:

следовательно, параметры и являются статистически значимыми для уравнения регрессии, а параметр является статистически не значимым для уравнения регрессии.

Определим предельную ошибку для каждого показателя и рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и .

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметр , находясь в указанных границах, принимает нулевое значения, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения. Параметры , находясь в указанных границах, не принимает нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимым. Значения параметров a и b случайно отличаются от нуля и систематически действующий фактор x на их формирование не влияет.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют не отклонять нулевую гипотезу. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: Д.Е., тогда прогнозное значение заработной платы составит:

Д.Е.

5. Ошибка прогноза составит :

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 130, 3 Д.Е. до 169, 62 Д.Е.

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. 4):

Рисунок 4 - Построение линии регрессии

7. Решение задачи с помощью MS Excel

Для построения модели парной линейной регрессии необходимо выбрать инструмент анализа Регрессия (пункт главного меню Данные à Анализ данных à Регрессия)

Получаем следующие результаты для рассмотренного выше примера (рисунок 5):

Рисунок 5 - Результаты решения задачи с использованием MS Excel

Проанализируем полученные результаты.

Уравнение регрессии имеет следующий вид:

Коэффициент корреляции:

r_xy = 0, 787

Коэффициент детерминации:

R = 0, 619

Фактическое значение F -критерия Фишера:

F_факт = 11, 394

Стандартные ошибки для параметров регрессии:

m_a = 27, 24; m_b = 0, 314

Фактические значения t -критерия Стьюдента:

t_a = 1, 91; t_b = 3, 375

Все остальные расчетные показатели также совпадают с полученными ранее при решении данной задачи.