Предикатный подход (через высказывательную форму)

Значение неизвестного числа, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Связь понятия «уравнение» с понятием «тождество»

Уравнение называется тождеством, если любое число является его решением (отражен первый подход к определению тождества).

Уравнение вида f(x) = g(x) называется тождеством, если множество решений этого уравнения совпадает с областью определения данного уравнения (отражен второй подход к определению тождества).

Основные направления в изучении уравнений

1) более раннее систематическое изучение уравнений (начиная с начальной школы);

2) расширение объема и сложности решаемых уравнений младшими школьниками;

3) вариативность последовательности изучения отдельных вопросов линии.

Основные процессы, сопровождающие обучение

1) постепенное возрастание классов уравнений и неравенств, приемов их решения, преобразований, применяемых при решении;

2) установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более общих приемов преобразований, упрощение описания и обоснования решения.

Общая идея решения любого уравнения, которое не является простейшим

1) преобразование данного уравнения (неравенства) к простейшему виду – эвристический этап;

2) решение простейшего уравнения (неравенства) по известным формулам, алгоритмам или правилам – алгоритмический этап.

Задания на формирование умения определять способ решения уравнения

1) для группы уравнений указать возможный способ решения (сами решения не приводить);

2) после предварительного анализа внешнего вида уравнения и способа решения решить уравнение.

Основные приемы преобразования уравнений:

1) раскрытие скобок;

2) перенос слагаемых;

3) приведение подобных слагаемых;

4) умножение обеих частей уравнения на выражение или число, отличное от нуля;

5) возведение в степень.

Основные методы решения уравнений:

1) разложение на множители;

2) замена переменных;

3) сведение к системе уравнений и неравенств;

4) функциональный;

5) графический.

Обобщенные приемы решения уравнений и неравенств

1) решение простейших уравнений данного вида;

2) анализ действий, необходимых для их решения;

3) вывод алгоритма (правила, формулы) решения и запоминание его;

4) решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

5) анализ действий, необходимых для их решения;

6) формулировка частного приема решения;

7) применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;

8) работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;

9) сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решения;

10) применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Метод «уравнений и неравенств» в обучении математике

Метод уравнений и неравенств является главным средством для овладения учащимися основами математического моделирования, т.к. в нем отражаются все характерные черты процесса математического моделирования; уравнения, неравенства и их конструкции являются моделями многих явлений.

Цель изучения метода «уравнений и неравенств»

1) формирование у учащихся умений математизации реальных ситуаций;

2) установление внутрипредметных и межпредметных связей;

3) формирование системности знаний.

Суть метода «уравнений и неравенств»

1) установление основных связей и зависимостей, характеризующих явление или процесс (т.е. построение словесной модели явления или процесса);

2) перевод словесной модели на язык математики, при котором выявленные связи и зависимости записываются в виде уравнений, неравенств или их конструкций (т.е. построение математической модели);

3) решение поставленной задачи в рамках математической модели: решение уравнений, неравенств или их конструкций;

4) перевод решения на язык, на котором была сформулирована задача (т.е. установления соответствия полученного результата исходному явлению).

Этапы процесса формирования метода «уравнений и неравенств»

1) мотивационный этап (принятия учебной задачи);

2) этап усвоения сути метода;

3) этап формирования компонентов метода;

4) этап обучения применению метода к типовым задачам (тип модели определен однозначно);

5) этап обучения применению метода для решения широкого круга задач (формирование умения рационального выбора вида решающей модели).

Типы задач школьного курса математики, решаемые методом «уравнений и неравенств»

Формирование умений решать задачи методом «уравнений и неравенств» осуществляется главным образом при решении сюжетных задач, среди которых по признаку «тип решающей модели» выделяют:

1) задачи на составление уравнения;

2) задачи на составление неравенств;

3) задачи на составление систем уравнений;

4) задачи на составление систем неравенств;

5) задачи на составление комбинированных систем;

6) задачи на оптимизацию.