Задание для самостоятельной работы

Охарактеризуйте понятия «трудность» и «сложность» задачи.

В чём заключается критерий трудности задачи? Проиллюстрируйте на конкретном примере, как определяется внутренняя структура и сложность.

Литература

1. Валитова, С.Л. Расширение познавательных функций системы текстовых задач / С.Л. Валитова // Проблемы творческого потенциала личности в процессе обучения математике: Межвузовский сборник научно-методических трудов. Екатеринбург, 2000. – 164 с.

2. Крупич, В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач / В.И. Крупич. – М., 1995 – 118 с.

3. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике / О.Б. Епишева, В.И. Крупич. – М., 1990. – С. 51 – 74.

Лекция 2. Линия числа в школьном курсе математики

Структура – строение и внутренняя форма организации системы, выступающая как единство устойчивых взаимосвязей между ее элементами.

В качестве элементов системы числовой линии выступают числа, организованные в уровни по отдельным числовым множествам.

В структуре системы числовой линии выделяются внутренние и внешние связи.

Внутренние связи

1) горизонтальные: округление; действия; их законы и свойства;

2) вертикальные: необходимость рассмотрения; связь между действиями.

Внешние связи – связи с другими линиями.

Схемы развития понятия числа

1) историческая:

N N₀ Q⁺ Q R

2) логическая:

N N₀ Z Q R

Системно-структурный анализ числовой линии

1) общее понятия числа в большинстве технологий не рассматривается. Под натуральным числом понимается некий символ, характеризующий класс эквивалентных между собой множеств, между элементами которых можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е. символ, обозначающий мощность не пустых конечных множеств.

2) в процессе изучения числовой линии основные множества вводятся следующим образом:

• натуральные – через перечисления предметов;

• отрицательные – через обозначение соответствующей величины (например, отрицательной температуры) или ее измерения;

• дробные – через понятие доли;

• иррациональные – через разрешимость уравнений;

• действительные – через установление соответствия.

Вышесказанное свидетельствует об отсутствии вертикальных связей.

3) базовым действием, которое вводится без определения, является сложение натуральных чисел

Остальные операции для множеств Z и Q определяются, но вводятся по-разному, а для множеств и R не вводятся и не рассматриваются.

Вопрос о выполнимости операций не ставится, т.к. нет потребности.

Таким образом, целостность системы нарушается.

Возможные варианты для общей идеи разворачивания числовой линии

1) разрешимость уравнений (вертикальная связь);

2) выполнимость действий (горизонтальная связь).

Методические особенности изучения натуральных чисел

1) изучение начинается в начальной школе, в 5 классе осуществляется систематизация знаний;

2) систематизация идет с опорой на позиционное представление числа. С целью выделения существенных признаков позиционных систем счисления целесообразно рассмотреть недесятичные и непозиционные системы;

3) усиливается роль теоретических обоснований, что проявляется в сочетании методов индукции и дедукции.

Методические особенности изучения дробных чисел

1) первое знакомство с дробными числами происходит в начальной школе, но систематическое изучение начинается в 5 классе;

2) дробные числа вводятся через понятие «доли»;

3) важное значение имеет вопрос мотивации для введения дробных чисел.

Выделяют три приема мотивации введения числа

1) измерение величины;

2) разрешимость уравнений;

3) выполнимость действий.

Существует методическая проблема порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей: какие из них изучать первыми? Имеются три подхода к решению этой проблемы, которые с методической точки зрения равноправны.

Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей

1 подход: изучаются сначала обыкновенные дроби, а затем десятичные (Л.Г. Петерсон).

Обоснование: десятичные дроби не являются числовым множеством, а представляют собой форму записи дробей с частным видом знаменателей.

2 подход: изучаются сначала десятичные дроби, затем обыкновенные (Э.Г. Гельфман).

Обоснование: в десятичных дробях сохраняется идея позиционности, что дает возможность переноса известных способов действий с натуральными числами на новые объекты, и они более удобны в расчетах.

3 подход: изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется (Н.Я. Виленкин).

Обоснование: обыкновенные дроби более универсальны, но десятичная форма дробей более проста для изучения.

Особое значение имеет различение сущности понятий «дробь», «дробное число», «смешанное число».

Дробь – форма записи как целых, так и не целых чисел, причем любое число можно записать с помощью различных дробей.

Смешанное число – форма записи дробных чисел, модуль которых больше единицы.

Методические особенности изучения отрицательных чисел

1) для сохранения системности в изложении содержания числовой линии необходимо опираться на все три приема для мотивации введения новых чисел, но приоритетным направлением следует рассматривать идею выполнимости действий;

2) имеется методическая сложность в обосновании целесообразности введения правил действий с отрицательными числами, т.к. сложно подобрать сюжетную фабулу задачи для использования принципа общности решения типовых задач. Такой задачей может быть задача об изменении температуры воздуха или уровня воды в реке.

Особенностью изучения правил действий является и то, что для каждого арифметического действия имеется несколько правил их выполнения.

Выработка правильных алгоритмов действий – важный момент методики.

Следует обратить внимание учащихся, что результат действия – число, характеризуемое знаком и модулем, поэтому при выполнении действий:

1) сначала находим знак искомого числа;

2) потом модуль искомого числа.

Методические особенности изучения иррациональных чисел

1) для практических вычислений множества рациональных чисел достаточно. Необходимость изучения действительных чисел в большей мере вызывается потребностями самой математики (например, построение графиков сплошной линией).

2) главная трудность – ни одна теория действительного числа не может быть изложена в школьном курсе математики даже в старших классах из-за высокой степени абстрактности, а потребности математики требуют более раннего введения понятия иррациональных чисел.

3) основой для введения иррациональных чисел служит одна из задач:

• задача об измерении отрезка;

• задача об извлечении корня.

4) необходимо отметить, что существуют иррациональные числа, которые нельзя получить извлечением корня, поэтому иррациональное число определяется как бесконечная непериодическая десятичная дробь.

5) большинство вопросов, связанных с изучением иррациональных чисел, рассматривается на уровне наглядных представлений.

6) разъяснить арифметический смысл даже основных операций очень непросто, поэтому им часто дается геометрическая, наглядная интерпретация.

Например, для суммы – через построение отрезка, равного сумме двух других отрезков, а для умножения – через вычисление площади прямоугольника.

Изучение комплексных чисел

Изучение комплексных чисел не входит в программы базовых курсов школьной математики, но включено в программы профильных физико-математических классов.