Тема: Закони розподілу одновимірних випадкових величин. Функція розподілу вірогідності, щільність розподілу вірогідності.

Ціль:

8. Ознайомитися з поняттям математичного очікування.

8. Ознайомитися з поняттям дисперсії.

8. Ознайомитися з поняттям середньо квадратичного відхилення.

8. Ознайомитися з поняттям моди, моменту і ентропії.

Теоретичні відомості:

У багатьох практичних завданнях важко або навіть неможливо повністю визначити функцію розподілу випадкової величини. У таких випадках повний опис випадкової величини за допомогою закону розподілу може бути замінене вказівкою окремих параметрів (числових характеристик) цього розподілу.

Найбільш важливими числовими характеристиками випадкової величини X є математичне очікування і дисперсія .

Для дискретної випадкової величини X математичне очікування

(12)

Якщо X — безперервна випадкова величина з щільністю вірогідності , то

(13)

Формули для дисперсії відповідно мають вигляд:

(14)

(15)

де — центрована випадкова величина, тобто відхилення випадкової величини X від її математичного очікування.

Математичне очікування визначає абсцису центру тяжіння кривої розподілу, а дисперсія — розсіювання (розкид) випадкової величини щодо її математичного очікування. Розсіювання випадкової величини часто характеризують середнім квадратичним відхиленням

(16)

Окрім математичного очікування, як характеристики положення випадкової величини застосовуються іноді медіана і мода. Медіаною (інакше серединним або вірогідним значенням) називається таке значення випадкової величини X, при якому

(17)

Для безперервної випадкової величини X медіана знаходиться з умови

або

.

Для дискретних випадкових величин медіана визначається неоднозначно і практично не уживається.

Модою М (найімовірнішим значенням) називається таке значення випадкової величини X, для якого у разі дискретного розподілу ймовірність Р(Х = М), а у разі безперервного розподілу щільність вірогідності мають найбільше значення. Якщо максимум один, то розподіл називається одномодальным (унімодальним), а якщо декілька — те багатомодальним (полимодальным, мультимодальным).

Загальними числовими характеристиками випадкової величини є моменти і ентропія, які є невипадковими величинами (числа). Характерний, що моменти нижчого порядку несуть в собі більше відомостей про випадкову величину, чим моменти вищого порядку. Моментом к-то порядку випадкової величини X щодо довільної точки а називається математичне очікування величини :

(19)

Момент, що розглядається відносно початку координат (а = 0), називається початковим, а щодо математичного очікування (а = )— центральним.

У табл. 2.3 приведені аналітичні вирази різних моментів для дискретної і безперервної випадкових величин. З приведених даних видно, що математичне очікування, визначене формулами (12) і (13), є початковим моментом першого порядку. Для будь-якої випадкової. величини центральний момент першого порядку рівний нулю, а центральний момент другого порядку є дисперсією. Абсолютні моменти парних порядків співпадають із звичайними моментами.

При вирішенні практичних завдань найчастіше використовуються початковий момент першого порядку (математичне очікування) початковий момент другого порядку (середній квадрат випадкової величини)центральний момент другого порядку (дисперсія), центральні моменти третього і четвертого порядків, а також абсолютний центральний момент першого порядку, званий середнім арифметичним відхиленням.

З центральним моментом третього порядку зв'язаний коефіцієнт асиметрії , що характеризує «скошеність» розподілу, а з центральним моментом четвертого порядку — коефіцієнт ексцесу , що показує «крутизну» розподілу вірогідності. Для симетричних щодо математичного очікування розподілів всі моменти непарного порядку (якщо вони існують) рівні нулю і асиметрія відсутня. Ексцес нормального розподілу рівний нулю. Якщо крива щільності вірогідності має гострішу і вищу вершину в порівнянні з нормальним розподілом, то ексцес позитивний; якщо нижчу і пологішу, — те негативний. Коефіцієнти асиметрії і ексцесу визначаються відповідно формулами:

(20)

(21)

У багатьох інженерних імовірнісних розрахунках, наприклад при вивченні проходження випадкових сигналів через лінійні і нелінійні системи, часто потрібно визначити щільність вірогідності випадкової величини Y по відомій щільності вірогідності випадкової величини X і відомому функціональному зв'язку випадкових величин Y і X.

Якщо зворотна функція однозначна, то правило перетворення щільності вірогідності випадкових величин визначається формулою:

. (22)

Рис. 2.1 Взаємно-однозначне функціональне перетворення;

а - пряма функція, б — зворотна функція

Якщо зворотна функція неоднозначна, наприклад є дві гілки зворотної функції і , то щільність вірогідності знаходиться по формулі:

. (23)

Рис. 2.2 Квадратичне (двозначне) перетворення:

а — прямая функція, б — зворотна функція

Якщо число гілок зворотної функції більше двох, то в правій частині формули (23) слід брати суму по всіх гілках:

,

де — число гілок (число неоднозначностей). Задача перетворення щільності вірогідності розглядається тільки для безперервних випадкових величин. Функціональне перетворення дискретної випадкової величини не змінює розподілу вірогідності; воно змінює тільки її можливі значення.

Визначення числових характеристик випадкової величини є окремим випадком розглянутого завдання. При цьому їх можна обчислити двома способами: за допомогою знайденої по формулах (22), (23) щільності вірогідності або шляхом усереднювання . Другий шлях економічніший, оскільки не вимагає визначення щільності вірогідності функції . Наприклад, формули для математичного очікування і дисперсії випадкової величини при цих способах відповідно мають вигляд:

, (24)

, (25)

Для дискретної випадкової величини числові характеристики знаходяться

по формулах:

(26)

(27)