Практична робота №1.

Тема: Закони розподілу одновимірних випадкових величин. Функція розподілу вірогідності, щільність розподілу вірогідності.

Ціль:

1. Ознайомитися з поняттями випадкової величини, типами випадкових величин, типами завдання закону розподілу випадкової величин.

2. Вивчити властивості функції розподілу.

3. Навчитися будувати ряд розподілу, багатокутник розподілу, функцію розподілу.

Теоретичні відомості:

Випадковою величиною називається така змінна величина, яка в результаті досвіду може приймати те або інше заздалегідь невідоме значення. Розрізняють два основні типи випадкових величин: дискретні і безперервні. Дискретна випадкова величина може приймати кінцеву або нескінченну рахункову безліч значень (їх можна пронумерувати). Можливі значення безперервних випадкових величин не можуть бути заздалегідь перераховані і безперервно заповнюють деякий проміжок або навіть всю вісь. Часто зустрічаються випадкові величини змішаного типу, які можуть і безперервно заповнювати деякий проміжок і приймати окремі дискретні значення.

Повною статистичною характеристикою одновимірної випадкової величини є закон розподілу вірогідності. У разі дискретної випадкової величини X під ним розуміється співвідношення, що встановлює залежність між можливими значеннями дискретної випадкової величини і їх вірогідністю .

Ймовірність того, що при незалежних дослідах подія А з'явиться рівно раз, якщо при кожному досвіді ймовірність події А однакова і рівна визначається формулою:

, де .

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати в різних формах: табличною (ряд розподілу), графічною (багатокутник розподілу), аналітичною (у вигляді формули).

Універсальною характеристикою, однаково придатною як для дискретних, так і для безперервних одновимірних випадкових величин, є функція розподілу вірогідності , що визначає ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше деякого числа :

(1)

Функцію розподілу іноді називають також інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу.

Функція розподілу володіє наступними властивостями:

1.

2.

3. — неспадна функція, тобто при

4. = (2)

Функція розподілу дискретної випадкової величини є ступінчастою функцією з скачками в точках (рис. 1, а), функція розподілу безперервної випадкової величини — безперервну функцію (рис. 1, б) і функція розподілу змішаної випадкової величини — кусочно-безперервну функцію з не більше ніж рахунковим числом скачків (рис. 1, в).

Рис. 1. Функція розподілу дискретної (о), безперервної (б) і змішаної (в) випадкових величин

У прикладних задачах припускають, що функції розподілу безперервних випадкових величин діфференцируєми у всій області можливих значень випадкових величин. При такому припущенні безперервна випадкова величина X частіше всього описується щільністю розподілу вірогідності , яка іноді називається диференціальним законом розподілу або диференціальною функцією розподілу. Щільність вірогідності визначається як похідна функції розподілу:

(3)

Щільність вірогідності володіє наступними основними властивостями:

1. Щільність вірогідності ненегативна, тобто .
2. Ймовірність попадання безперервної випадкової величини в інтервал рівна інтегралу від щільності вірогідності в цих межах:

(4)

1. Інтеграл в нескінченних межах від функції рівний одиниці (умова нормування):

(5)

Дуже важливе практичне значення має щільність вірогідності гауса (нормальна) , яка має вигляд

(6)

або

(7)

де - математичне очікування (середнє значення) випадкової величини X, - дисперсія, — середнє квадратичне (стандартне) відхилення, — вірогідне (серединне) відхилення X; = 0, 476936...

При розподілі гауса ймовірність попадання випадкової величини X в заданий інтервал

(8)

де

, (9)

— табульований інтеграл вірогідності в додатку II.

Для дискретної випадкової величини щільність вірогідності

(10)

де — можливі значення випадкової величини X, — ймовірність можливих значень , - дельта-функція (імпульсна функція, функція Дірака).

Дельта-функція володіє наступними властивостями:

при будь-якому

, (11)

У табл. 2.1 приведений ряд законів розподілу дискретної випадкової величини і відповідні їм характеристичні функції, а також графіки законів розподілу при різних значеннях параметрів розподілів. Аналогічні дані по законах розподілу безперервних випадкових величин представлені в табл. 2.2.

Приклад. По одній і тій же стартовій позиції супротивника проводиться пуск п'яти ракет, причому ймовірність р попадання в ціль при кожному пуску рівна 0, 8.

Побудувати: 1) ряд розподілу числа попадань; 2) багатокутник розподілу; 3) функцію розподілу числа попадань.

Рішення. Випадкова величина X (число попадань в ціль) може прийняти наступні значення: , , , , , . Ці значення випадкова величина X приймає з імовірностями , які відповідно дорівнюють:

З обчислених значень , видно, що найбільш вірогідне попадання в ціль чотирма ракетами, тоді як промах всіма ракетами маловірогідний.

Рис. 2.4. Багатокутник розподілу Рис. 2.5. Графік функції

розподіли випадкової величини

1. Ряд розподілу має наступний вигляд:

	0, 00032	0, 00640	0, 05120	0, 20480	0, 40960	0, 32768

1. У відповідності з рядом розподілу ймовірностей числа влучень в ціль побудований багатокутник розподілу, представлений на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Багатокутник розподілу

3. За визначенням, функція розподілу .

При ,

при ,

при ,

при ,

при ,

при ,

при .

Графік функції розподілу представлений на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Графік функції розподілу випадкової величини