Общие теоретические соображения. При проведении трёхфакторного дисперсионного анализа начинают с ещё более сложной модели «чёрного ящика» (см

При проведении трёхфакторного дисперсионного анализа начинают с ещё более сложной модели «чёрного ящика» (см. рисунок) исследуемой системы. Здесь рассматриваются три одновременно воздействующих на систему фактора: А, В, и С. Каждый из них будет варьироваться на нескольких уровнях: а₁, а₂, а₃,.., а _i,.., а_n, b₁, b₂, b₃, ….b _j,..., b_m и c₁, c₂, c₃,.., c _p,...., c_k, конкретные значения которых впредь будут обозначаться: а _i, b _j и c _p. Здесь и везде ниже i = 1, 2, 3,. n; j = 1, 2, 3,.. m; p = 1, 2, 3,.. k.

Здравый смысл и очевидные соображения

ИССЛЕДУЕМАЯ подсказывают, что для выявления одновремен-

СИСТЕМА ного влияния факторов А, В и С на величину

Фактор А Отклик Y отклика y следует несколько (здесь – n); раз

измерить этот отклик при разных уровнях фак-

Фактор В тора А (например: а₁, а₂, а₃,....а_n) при одном

Фактор С и том же (например, при b_j) уровне фактора

В и при одном и том же (например, при с_р)

Рис. 7.5 уровне фактора С. Получив при этом n штук (y _1jр, y _2jр, y _3jр, y _4jр,.. y _{n jр}), по всей видимости разных, значений отклика, следует проделать это же ещё m-1 раз (изменяя каждый раз уровень фактора B и повторяя каждый раз всеуровни фактора A), получив в итоге уже nm; штук (y_i1р, y_{i 2р}, y_{i 3р}, y_{i 4р},... y_{i mр}), разных, значений отклика. И, наконец, проделать все эти последовательности операцийещё n-1 раз, изменяя перед каждым новым циклом эксперимента уровень фактора С. При этом, очевидно, что каждое конкретное значение y_{ij р} из множества { y_{ij р}} (теперь уже объёмом N = nmk) измеренных значений отклика будет складываться из реального среднего значения

Y~ y_{ij р}, прибавки к нему ± Δ y_i, обусловленной влиянием (если такое влияние имеет место) фактора А на данном уровне (уровне а _i), такой же прибавки ± Δ y_j, обусловленной влиянием (если такое влияние имеет место) фактора В, на очередном (b _j) уровне, прибавки к нему ± Δ y_p, обусловленной влиянием (если такое влияние имеет место) фактора C на данном его уровне, (на уровне c _p) и ошибки ± έ _ijp измерительного прибора.

Фиксируем этот факт математически: y_ijp = Y ± Δ _i ± Δ _j ± Δ y_p ± έ _ijp. Это равносильно(y_ijp – Y) = (± Δ y_i ± Δ y_j ± Δ y_p ± έ _ijp) и говорит о том, что дисперсия σ ² Генеральной совокупности { y } возможных реальных значение отклика слагается из четырёх составляющих:

- σ _έ ² – дисперсии, обусловленной неточностью измерений т.е.ошибкой ± έ _ijp;

- σ _А² – дисперсии, обусловленной ожидаемым влиянием фактора А;

- σ _В² – дисперсии, обусловленной ожидаемым влиянием фактора В;

- σ _C² – дисперсии, обусловленной ожидаемым влиянием фактора C.

Аддитивность дисперсии позволяет записать: σ ² = σ _А² + σ _В² + σ _С² + σ _έ ²

Таким образом, и здесь, как и раньше, при обработке данных эксперимента встаёт задача разделения составляющих общей дисперсии. Способы такого разделения были очень подробно рассмотрены в предыдущих параграфах. Там они позволили нам записать «универсальное соотношение» между общей дисперсией (σ ²), дисперсией воспроизводи-мости (σ _έ ²) и факторными дисперсиями (σ _А², σ _В² и σ _С²). Это соотношение при обобщении его на случай S факторов (тогда разные факторы удобнее обозначать не разными символами А, В, и С, а одним символом Х с разными индексами, – условными номерами данного фактора в данном эксперименте: Х₁, Х₂, Х₃,.. S. В таком случае «универсальное соотношение» выглядит следующим образом: ( _έ ) = [СК _∑ – КЧ _i + КЧ _∑ ]. Здесь большое (S штук) количество индексов у остаточной суммы квадратов ( _έ ), связанной с дисперсией воспроизводимости не проставлено – оставлен единственный индекс «_έ », который и означает, что речь идёт о параметре, связанном не с исследуемыми, а со случайными факторами. Индекс «_∑ » у всеобщей суммы квадратов (СК _∑ ) и у квадрата суммы всех значений отклика в эксперименте (КЧ _∑ ) заменяет те же S штук индексов 1, 2, 3,. S обозначавшие условные номера исследуемых факторов. При не очень большом количестве S исследуемых факторов (у нас их здесь только три) ещё удобнее оставить и «старые» обозначения, например, (Σ ₁) = (Σ _А), (Σ ₂) = (Σ _В) и (Σ ₃) = (Σ _С)

Планирование эксперимента при трёхфакторном дисперсионном анализе

Представленные в предыдущем параграфе теоретические соображения позволяют начинать планирование трёхфакторного эксперимента не с план-матрицы, а с подготовки макета Итоговой таблицы трёхфакторного эксперимента (такой макет представлен в начале следующего листа)).На этом макете в клетках-ячейках показаны очевидные соотношения, которые на этапе планирования должны быть введены в них в виде формул для вычисления итогов.

Такую таблицу, как и в предыдущем случае, следовало бы готовить в рамках единой электронной таблицы совместно с план-матрицей трёхфакторного эксперимента, который (план) здесь будет выглядеть существенно сложнее, чем при одно- и двухфакторном экспериментах. Это связано с дополнительной необходимостью вычисления построчных промежуточных величин (С _p, С_p² и др.) «нового» фактора С.

Макет итоговой таблицы трёхфакторного эксперимента

Примечания: 1. mnk; mn, kn, km и – объёмы выборок («слоёв» в кубическом

«х ранилищ е» откликов) всего и при неизменных уровнях

факторов А, В, и С, соответственно.

2. f _{έ lj} = f_lj – (f _А+ f _B+ f _С) = mnp – 1 –(n – 1 + m – 1 + p – 1) =

= nmk – 1 – n +1 – m+ 1 – k+1 = nmk – (n+ m+ k – 2).

Если при двухфакторном эксперименте данные всех измерений (как и при однофакторном) могли быть размещены в одной «плоской» (двухмерной) таблице (содержательной части Протокола…), наглядным аналогом которой выше была представлена стлаж-этажерка, то при трёхфакторном эксперименте в подобную «плоскую» таблицу вместятся данные, полученные только при одном значении третьего фактора С.

Наглядным образом «хранилища» всех данных трёхфакторного эксперимента может послужить складское помещение, заполненное целым рядом (k штук) подобных стеллажей-этажерок, на каждой из которых размещено по nm значений откликов, измеренных при одном и том же значении третьего фактора С.

Это трёхмерный образ. Таблица не может быть трёхмерной. Следовательно, для записи всех данных трёхфакторного эксперимента потребуются k таблиц. Как каждая такая таблица может выглядеть, показано ниже, где приведена таблица откликов, измеренных при наименьшем значении третьего фактора С: при значении c₁.

Следовательно, здесь должны быть предусмотрены (и в ходе эксперимента – заполнены) ещё n -1 аналогичных таблиц. В соответствующих клетках-ячейках этих таблиц по соответствующим (обоснованным выше и размещённым в этих ячейках) формулам автоматически будут вычисляться (на основе размещаемых в план-матрице данных измерений) все промежуточные величины, используемые при обработке экспериментальных данных и при вычислениях результатов в соответствующих разделах Итоговой таблицы.

Речь идёт прежде всего о величинах СК _∑ , КЧ _∑ и КЧ_k, которые теперь должны считаться, если не по новым, то по модифицированным под конкретную ситуацию формулам. В частности, при трёх факторах они будут выглядеть:

СК _∑ = СК _ijp = (y_ijp)², КЧ _∑ = КЧ _ijp = ( y_ijp)² и,

соответственно: КЧ₁ = КЧ_А = ( y_ljp)²,

КЧ₂ = КЧ_В = ( y_ljp)² и

КЧ₃ = КЧ_С = ( y_ljp)².

Макет первого фрагмента рабочей электронной таблицы для сопровождения трёхфакторного эксперимента повторяют план-матрицу двухфакторного эксперимента. Здесь – рабочая электронная таблица, предусматривающая варьирование уровней факторов А и В при удержании (в ходе такого двухфакторного эксперимента) фактора С на его первом (р =1) уровне. По ней ничего невозможно вычислить окончательно: ни КЧ _∑ , ни КЧ_А, ни КЧ_В, ни КЧ_С и ни СК _∑ .

По этой таблице можно вычислить только одно

(КЧ_С1 = y_{lj 1}) слагаемое для последующего вычисления КЧ_С по формуле

КЧ_С = КЧ_Сp = ( y_ljp)² .

Фрагмент макета рабочей электронной таблицы

для сопровождения трёхфакторного эксперимента

n – количество уровней варьирования фактора А.

m – количество уровней варьирования фактора В.

k – количество уровней варьирования фактора С.

Уровни фактора В m строк	Уровни фактора А а1, а2, а3, … аn n колонок _	Сумма откликов во всех строках yij1	Полный квадрат суммы откликов КЧС1 = ( yij1)2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Отклики ….y i 11…. ….y i 21…. ….. ….y i j1… … …..y i m1…	Сумма откликов в каждой строке …. ….. Bj 1 = yij1 ….	Квадрат суммы откликов в каждой строке   (Bj 1)2 =( yij1)2
Количество Уровней Фактора А n	Сумма откликов в столбце А i 1 = ylj 1	Сумма откликов во всех столбцах yij 1	Сюда вписывать ничего не нужно
Уровни фактора В m строк	Квадрат суммы откликов в столбце (A l 1)2 = ( yij 1)2	Квадрат 1 суммы откликов во всех столбцах (A i 1)2	Квадрат 1 суммы откликов во всех строках (Bj 1)2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Квадраты откликов ….y2 i 11…. ….y2 i 21…. ….. ….y2 i j1… ….. ….y2 i m1…	Сумма квадратов в каждой строке   = (yij1)2	Сюда вписывать ничего не нужно
Количество уровней фактора В m	Сумма квадратов в каждом столбце (yij1)2	Общая сумма 1 квадратов откликов (yij 1)2	х3p = х31 с1первое значение третьего фактора.

Для вычисления других частичных сумм для КЧ_Сp при последующих уровнях фактора С (уровнях c _p, где р =2, 3, 4, … k) потребуются, как сказано выше, ещё k -1 аналогичных фрагментов таблицы.

На первом фрагменте рабочей таблицы в правую нижнюю ячейку для сведения заносится первое значение третьего фактора (х_3p = = х₃₁ с ₁), а все данные измерений и промежуточные результаты их обработки имеет один тот же третий индекс, а именно p= 1.

В каждом из последующих точно таких же фрагментов таблицы значение третьего индекса изменяется на единицу (p= 2, p= 3, p= 4, … до p = k, а в его правую нижнюю ячейку заносится соответствующее значение третьего фактора х_3p

(х₃₂ с _2, х₃₃ с _3,.. …. до х_3k с _k).

Второй фрагмент макета рабочей электронной таблицы

для сопровождения трёхфакторного эксперимента

n – количество уровней варьирования фактора А.

m – количество уровней варьирования фактора В.

k – количество уровней варьирования фактора С.

Уровни фактора В m строк	Уровни фактора А а1, а2, а3, … аn n колонок	Сумма откликов во всех строках ylj2	Полный квадрат суммы откликов КЧС2 = ( ylj2)2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Отклики ….y l 12…. ….y l 22…. ….. ….y l j2… ….. …..y l m2…	Сумма откликов в каждой строке …. ….. Bj 2 = ylj2 ….	Квадрат суммы откликов в каждой строке …. ….. (Bj 2)2 =( ylj2)2 ….
Количество уровней фактора А n	Сумма откликов в каждом столбце А l 2 = ylj 2	Сумма откликов во всех столбцах ylj 2	Сюда вписывать ничего не нужно
Уровни фактора В m строк	Квадрат суммы откликов в столбце (A l 2)2 = ( ylj 1)2	Квадрат 2 суммы откликов во всех столбцах (A l 2)2	Квадрат 2 суммы откликов во всех строках (Bj 2)2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Квадраты откликов ….y2 l 12…. ….y2 l 22…. ….. ….y2 l j2… ….. ….y2 l m2…	Сумма квадратов в каждой строке ….. ….. (ylj2)2 …..	Сюда вписывать ничего не нужно
Количество уровней фактора В m	Сумма квадратов в каждом столбце (ylj2)2	Общая сумма 2 квадратов откликов (yij 2)2	х3p = х32 с2 – второе значение третьего фактора.

Выше представлен второй такой фрагмент большой рабочей таблицы, а ниже – последний.

Таким образом, для записи данных всех измерений и предварительной их автоматической обработки (повторим ещё раз) следует «заготовить» k штук очень похожих друг на друга, но разных фрагментов-сечений общей «трёхмерной» рабочей таблицы.

Ниже представлен последний из них.

Последний фрагмент макета рабочей электронной таблицы

для сопровождения трёхфакторного эксперимента

n – количество уровней варьирования фактора А.

m – количество уровней варьирования фактора В.

k – количество уровней варьирования фактора С.

Уровни фактора В m строк	Уровни фактора А а1, а2, а3, … аn n колонок_	Сумма откликов во всех строках yij k	Полный квадрат суммы откликов КЧСk = ( yij k)2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Отклики ….y i 1n…. ….y i 2n …. ….. ….y i jk … ….. …..y i mk …	Сумма откликов в каждой строке …. ….. Bjk= yij k ….	Квадрат суммы откликов в каждой строке …. ….. (Bjk)2 =( yij k)2 ….
Количество Уровне фактора А - n	Сумма откликов в каждом столбце А l n = yij k)	Сумма откликов во всех столбцах yij k)	Сюда вписывать ничего не нужно
Уровни фактора В m строк	Квадрат суммы откликов в столбце (A l n)2 = ( ylj k)2	Квадрат n суммы откликов во всех столбцах (A l k)2	Квадрат n суммы откликов во всех строках (Bjk)2
b1 b2 ….. bj ….. bm	Квадраты откликов ….y2 i 1k…. ….y2 i 2k…. ….. ….y2 i jk… ….. ….y2 i mk…	Сумма квадратов в каждой строке ….. ….. (yijk)2 …..	Сюда вписывать ничего не нужно
Количество уровней фактора В – m	Сумма квадратов в каждом столбце (yij k)2	Общая сумма k квадратов откликов (ylj k)2	х3p = х3 k с k – наибольшее значение третьего фактора.

Но на этом, однако, «заготовки» не заканчиваются. Ведь для того, чтобы «собрать» сумму КЧ_С = ( y_ijp)² следует где-то предусмотреть ячейку для размещения в ней соответствующей формулы, содержащей ссылки на одноимённые ячейки всех k фрагментов единой таблицы. Далее потребуются ячейки и для ещё более трудного «собирания» промежуточных величин КЧ_А и КЧ_В по формулам

КЧ_А = ( y_ljp)² и КЧ_В = ( y_ijp)².

Наконец, потребуются дополнительные ячейки для формул

СК _∑ = СК _ijp = (y_ijp)² и КЧ _∑ = КЧ _ljp = ( y_ljp)², ибо промежуточные величины СК _∑ = СК _ljp и КЧ _∑ = КЧ _ljp тоже нужны для «срабатывания» Итоговой таблицы, в которой должны быть ссылки именно на эти дополнительные ячейки единой рабочей электронной таблицы

Выделить в Excel ’е ещё группу ячеек и ввести в них формулы со ссылками на соответствующие ячейки каждого из представленных выше похожих друг на друга фрагментов-сечений электронной таблицы – дело не хитрое и этим планирование эксперимента при проведении трёхфакторного дисперсионного анализа заканчивается. Выглядит такое планирование довольно громоздким. Вряд ли оно применимо практически