Теория однофакторного дисперсионного анализа

При сформулированном выше допущении наш «чёрный ящик» выглядит (см. рисунок) очень просто. Здравый смысл и очевидные соображения подсказывают, что для вы-

явления влияния фактора А на величину от-

ИССЛЕДУЕМАЯ СИСТЕМА клика следует несколько раз (например, n раз)

измерить этот отклик при разных уровнях

Фактор А Отклик У фактора А (например, при а₁, а₂,.. а _i,..., а _n),

получив при этом n штук (y ₁, y ₂, _….. y_i…, y_n),

Рис. 7.3 по всей видимости, разных значений отклика.

Очевидно, что каждое y_i из этих значений будет определяться реальным средним значением Y (n) _Ср = y_i и прибавкой к нему ± Δ y_i, обусловленной влиянием (если такое влияние имеет место) фактора А на данном (а _i) уровне, и ошибкой ± έ _ип измерительного прибора.

Фиксируем этот факт математически: y_i = Y _Ср ± Δ y_i ± έ _ип.

Далее Y (n) _Ср будем обозначать символом Yn, а έ _ип – символом έ _n

Соотношение y_i = Y_n ± Δ y_i ± έ n равносильно (y_i – Y_n) = ± Δ y_i ± έ n и говорит о том, что дисперсия σ ² Генеральной совокупности слагается из двух составляющих:

- σ _έ ² – дисперсии, обусловленной неточностью измерений έ _n и

- σ _А²– дисперсии, обусловленной возможным влиянием фактора А.

Аддитивность дисперсии позволяет записать: σ ² = σ _А²+ σ _έ ² или σ _А²= σ ²– σ _έ ².

На базе множества (y_i – Y _n), где i = 1, 2, 3… n,

можно сформировать упомянутую выше исправленную выборочную дисперсию

s_и² = [ (y_i)² – ( y_i)²], которая является оценкой дисперсии σ ² Генеральной совокупности реальных значений отклика (s_и² ~ σ ²), ибо σ _n ² ≡ σ ²). Но это – смешанзная оценка (s_и² ~ σ _А²+ σ _έ ²) потому, что в ней обе составляющие не разделены. Разделить составляющие этой смешанной оценки, ограничившись только этими n измерениями, невозможно. Предварительно следовало бы найти отдельно оценку s²_иέ для дисперсии σ _έ ² и только потом можно искать σ _А² простым вычитанием: s² – s²_иέ. ~ σ _А²

Для нахождения выборочной оценки s²_иέ для дисперсии σ _έ ² необходимо создать такую выборку { y_kj } _m из Генеральной совокупности { y_ij }, в которой разброс значений был бы обусловлен только ошибками измерений. Это мог бы быть, например, набор { y_kj } _m из m значений отклика, полученных в одинаковых условиях эксперимента, включая и постоянство уровня фактора А (один из столбцов: а _i = а _k = Const, а j=1, 2, 3,.., m).

Эта выборзка позволяет вычислить её (выборки) параметры

Y _k= y_kj и s ²_{иέ m} = (y_kj – Y _mk)².

Однако, найденную на базе такой выборки по соответствующей формуле исправленную выборочную дисперсию s²_{иέ m} уже нельзя вычитать из s_и², ибо они не есть слагаемые одной оценки Генеральной дисперсии. Они – параметры разных выборок. Из этого следует, что в ходе эксперимента необходимо получить ещё одну выборку { y_ij }_q – такую, на базе которой можно вычислить и s²_иqέ , и s_q².

Реализовать это можно следующим образом.

Выполнив эксперимент, который был выше представлен первым и предполагал, что y_kj = Y _k ± Δ _kj ± έ _kj, и получив m значений отклика, нужно проделать эту же операцию n раз и получить n малых выборок типа{ y_ij } _m, где j=1, 2, 3,.., m, и i=1, 2, 3,.., n.

Получившаяся новая большая выборка { y_ij }_q – выборка из Генеральной совокупности с объёмом q = nm. то есть для неё теперь Y(nm) _Ср ≡ Y_q = y_ij.

В итоге мы можем записать: σ _q² = σ _А ² + σ _έ ², где:

- σ _έ ² – дисперсия, обусловленная инструментальной погрешностью, которая не зависит от индекса измеряемого параметра, а σ _q² ≡ σ ²– общая дисперсия большой Генеральной совокупности { y }, выборочной оценкой для которой теперь будет

s _q² = (Σ _q): f _q= (Σ _nm): f_nm = [ (y_ij)² – ( y_ij )² ] =

= [СК_q – КЧ_q]. где: - nm – объём большой выборки и потому выше:

- f _q= nm–1 ≡ f_nm, - (Σ _q) = СК _nm– КЧ _nm ≡ СК_q – КЧ_q = (Σ _nm)

- СК_q = (y_ij)² ≡ (y_nm)² = СК _nm и

- КЧ_q = ( y_ij)² ≡ ( y_km)² = КЧ _nm

Общая дисперсия σ ², как и всегда, выглядит составленной из дисперсии σ _qип² ≡ σ _έ ², которая обусловлена только случайными факторами, и дисперсии σ _А², которая обусловлена только изменениями уровня фактора А, то есть: σ ²= σ _А² + σ _έ ².

Если теперь на базе любой части { y_kj) _m общей выборки { y_ij }_q, которая получена при одном и том же значении фактора А, то есть на базе малой выборки { y_kj) _m при i=k, вычислить исправленную выборочную дисперсию s ²_{έ m} = (y_kj– Y _k)², тоона будет оценкой групповой исправленной дисперсии малой выборки.

Таких оценок здесь будет n штук, и каждая из них будет характеризовать разброс значений отклика, обусловленный внутри своей малой выборки только случайными факторами.

Но n штук малых выборок образуют большую выборку из единой Генеральной совокупности всех возможных значений отклика. В таких случаях математическая статистика позволяет усреднять групповые оценки s ²_{έ m}, а результат усреднения s ²_{έ q} – рассматривать в качестве выборочной оценки s ²_{έ q} дисперсии σ _{έ q}²≡ σ _έ ²≡ σ _вэ², которую ещё называют дисперсией воспроизводимости эксперимента (s ²_{έ q} ≡ s ²_вэ ~ σ _έ ²).

Итак, s ²_{έ q} ≡ s ²_вэ = [s²_{έ m} ], а s ²_{έ m} = [ (y_kj)² – ( y_kj)²].

То есть s ² _вэ = [ (y_kj)² – ( y_kj)²] =

= [ (y_kj)² – ( y_kj)²] = [СК_q – КЧ_q].

Количество степеней свободы дисперсии воспроизводимости f _{έ в}= n (m- 1).

Особо подчеркнём, что СК_q= (y_kj)² = (y_ij)², а корректирующий член КЧ_{q “}собирает ” со всей выборки средние квадраты откликов, вычисленные в каждом столбце. В связи с этим (в столбце фактор А остаётся неизменным) и КЧ_q можно обозначить КЧ_qА≡ _. КЧ_А – корректирующий член, обусловленный фактором А.

Действительно, КЧ_q= ( y_kj)² ≡ ( y_ij)²] = КЧ_qА ≡ _. КЧ_А

Всё это означает, что мы можем переписать выражение для выборочной оценки дисперсии воспроизводимости (повторим, что именно так в теории эксперимента часто называют дисперсию, обусловленную множеством сопровождающих эксперимент случайных факторов, включая ошибки измерений):

s ²_вэ ≡ s ²_{έ q} = [СК_q – КЧ_qА] = (Σ _вэ): f _вэ, где - f _вэ= n (m-1),

- (Σ _έ )_q = [СК_q – КЧ_А]

- СК_q = (y_ij)² и

- КЧ_А = ( y_kj)².

В этих условиях, в условиях одной большой выборки, где σ ² = σ _А ² + σ _έ ²,

а σ _έ ² ≡ σ _{έ q}, полученные выборочные оценки уже можно комбинировать, то есть выразить: s ² – s ²_вэ ~ σ _qА², то есть s ² – s ²_вэ ~ σ _А ², где s ² ~ σ ², s ²_вэ ~ σ _έ ² и

s ² = [СК_q – КЧ_q], а s ²_вэ ≡ s ²_{έ q} = [СК_q – КЧ_А].

- s ² = s _q² = (Σ _q): f _q = (Σ): f при (Σ _q)≡ (Σ) = [СК – КЧ] и f _q ≡ f = nm– 1;

- s ²_вэ≡ s ²_{έ q}= (Σ _{έ q}): f _{έ q} = (Σ _έ ): f _έ при (Σ _вэ) =[СК_q – КЧ_q] = [СК – КЧ_А] и f _вэ = n (m– 1).

Таким образом, составляющие смешанной оценки для σ ² разделены, а

[СК_q – КЧ_q] – [СК_q – КЧ_А] ~ σ _А ²

Но это ещё не вся информация, которую можно извлечь из результатов только что представленного здесь теоретически (мысленного) однофакторного эксперимента, в котором использовалась выборка объёмом q = m х n.

На базе каждой из n введённых в рассмотрение выше малых выборок, кроме представленной выше собственной групповой дисперсии s ²_{έ m}, можно вычислить групповое среднее значение отклика Y_km = y_kj. Таких средних будет n штук, все они будут разными и отличающимися от всеобщего среднего – среднего большой выборки Y _q= y_ij . Это означает, что будут существовать ещё и n штук разностей типа (Y_{m q} –Y _q), на базе которых можно вычислить некую (ещё одну) выборочную дисперсию

s ²_нвыб = (Y_mk–Y _q)² = [ (Y_mk)² – ( Y _q)²], которая является оценкой (s ²_нвыб≡ s ²_мг) межгрупповой дисперсии σ _мг² = σ _А²+ σ _ип², обусловленной и ожидаемым влиянием фактора А и неизбежным в ходе эксперимента влиянием случайных факторов. В составе этой дисперсии составляющая от случайных ошибок σ _ип = σ _έ ² – уменьшенная в m раз дисперсия σ _ип ≡ σ _έ ² (σ _мг²= σ _А²+ σ _έ ²) потому, что она входит в левую часть этого соотношения через вычисления группового среднего, при которых

( при вычислениях по формуле Y_mk = y_kj) такие ошибки усредняются.

При справедливости соотношений:

[ (Y_mk)² – ( Y _q)²] ~ σ _мг ² и σ _мг ² = σ _А² + σ _έ ², очевидно, что

S _мг ~ σ _А² + σ _έ ² или [ (Y_mk)² – ( Y _q)²] ~ σ _А² + σ _έ ²

Переписав последнее соотношение в несколько ином виде, получаем:

s ² _мг = [ (Y_mk)² – ( Y _q)²] ~ mσ _А² + σ _έ ² или s ²_мг ~ mσ _А² + σ _έ ²,

откуда следует более точная по сравнению с полученной на предыдущем листе выборочная оценка s ²_А дисперсии σ _А², обусловленной возможным влиянием исследуемого фактора А:

(s _мг ² – s _έ ²) ~ σ _А ²

Приглядимся более внимательно к выборочной оценке s ²_мг для σ _мг ²

s ²_мг = [ (Y_mk) ² – ( Y _q)²]

Во-первых, как обычно, s ² _мг = (Σ _мг): f _мг) Здесь f _мг = n– 1, следовательно,

(Σ _мг) = m [(Y_mk)² – ( Y _q)²].

Во-вторых, (Y_mk) ² = ( y_kj)² = [ ( y_kj)²]= КЧ_{А .}

В-третьих, [(Y _q)² = (Y _q)²( 1)² = n ² (Y _q)² = n ( y_ij)² =

=[ ( y_ij)²] = КЧ_q ≡ КЧ_q≡ КЧ.

В итоге имеем:

(Σ _мг) = m [ [(Y_mk)² – ( Y _q)²] = m { КЧ_А – КЧ } = [КЧ_А– КЧ]

Вспомним теперь ранее полученные соотношения:

(Σ _q) ≡ (Σ) = [СК – КЧ] и (Σ _έ ) = [СК – КЧ_А].

Сопоставив их с только что полученным (Σ _мг) = [КЧ_А – КЧ], обнаруживаем:

(Σ _q) – (Σ _έ ) = [СК – КЧ – СК + КЧ_А] = [КЧ_А – КЧ] = (Σ _мг).

Мы, следовательно, выяснили, что после вычисления выборочных оценок дисперсий mσ _А² + σ _έ ² и σ ² можно непосредственно вычислить остаточную сумму (Σ _мг), которая потребуется для последующего нахождения выборочной оценки s²_вэ дисперсии воспроизводимости σ _вэ² и уточнить оценку для σ _А².

Всё это означает, что представленный выше теоретически однофакторный эксперимент позволяет найти две (одна из которых уточняет другую) выборочные оценки для дисперсии σ _А², обусловленной влиянием фактора А. Следовательно, такой эксперимент способен решить основную задачу дисперсионного анализа – задачу разделения составляющих общей дисперсии, а только что рассмотренные соотношения позволяют выполнить все необходимые вычисления, используя измеренные в ходе опытов значения { y_lj } отклика.

Проблему решают три промежуточных интегральных параметра одной и той же выборки СК, КЧ, КЧ_А.

Планирование эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе.

Представленные в предыдущем параграфе теоретические соображения, казалось бы, полностью определяют план эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе. Этот план должен выглядеть в форме прямоугольной таблицы (см. таблицы ниже), в

План-матрица однофакторного эксперимента при дисперсионном анализе

Уровни фактора А

соответствующие клеточки которой по ходу эксперимента будут вписываться измеренные значения отклика – элементы множества { y_ij }.

Подготовка план-матрицы представляет собой очень малую (только формализованную в рамках приведённых в предыдущем параграфе теоретических рассуждений) часть планирования эксперимента.

Большую часть планирования составляют операции, связанные с подготовкой объекта эксперимента, средств измерения, с обеспечением необходимых условий проведения опытов и сохранения их неизменными в ходе всего эксперимента, а также с правильным оформлением сопровождающей эксперимент документации (соответствующим образом оформленная методика, журнал регистрации хода и данных опытов, передача смен и т. п.).

Эти аспекты планирования (традиционные и рутинные) здесь не рассматриваются. Более существенными для нас выглядят вопросы технологии обработки данных, которые получают в ходе опытов, и оформления итогов эксперимента в целом. Такие итоги

оформляются в таблицу, макет которой приведён на следующем листе.

Вначале представлены форма и содержание Итоговой таблицы, но не её окончательный вид и не тот вид, в котором она предстанет перед экспериментом.

План эксперимента и Итоговую таблицу (см. следующий лист) целесообразно подготовить заблаговременно в форме единой электронной (например, в Exzele) рабочей таблицы.

Первые слева колонки таблицы (в объёме представленной выше план-матрицы) следует оставить («зарезервировать») для последующего внесения в них (перенос из рабочего журнала после окончания эксперимента) измеренных в опытах значений { y_ij } отклика. До окончания эксперимента все m строк в n столбцах исходной таблицы будут оставаться незаполненными.

Незаполненными до конца эксперимента будут оставаться третий и пятый столбцы Итоговой таблицы, (её макет представлен ниже), предназначенные для внесения

Макет итоговой таблицы однофакторного эксперимента

Примечаие: f _έ = f_lj - f _{А j} = nm-1- n+1 = n (m-1)

в нихпромежуточных и окончательных результатов обработки экспериментальных данных. Поэтому заготовленная в рамках единой электронной таблицы Итоговая таблица будет выглядеть иначе (См. ниже). В ней заполнены только те колонки, данные для которых уже известны на момент составления плана, – известны из представленного в параграфе 7.1 теоретического анализа, который, конечно же, всегда предшествует эксперименту. Что касается “ пустых» клеток таблицы, то они пусты только внешне. На самом деле в них в ходе программирования эксперимента и вносятся (в режиме записи «невидимых» формул) представленные выше на макете соотношения. По этим соотношениям электронная таблица подсчитает и автоматически внесёт в соответствующую клетку таблицы получившийся там результат обработки данных.

Итоговая таблица однофакторного эксперимента

В нижней правой клетке должна «сработать» формула: s _А² = (s _мг ² – s _{έ q}²)

Однако, такой автоматизм следует программно подготовить.

Рассмотрим, что для этого следует предусмотреть в этой же электронной таблице.

В первой сроке третьего столбца Итоговой таблицы, как это показано на её макете, должна находиться итоговая сумм всеобщей дисперсии (Σ _uj), которая вычисляется по формуле: (Σ _lj) = [СК _lj– КЧ _lj ]. Именно эта формула и должна быть записана в этой, якобы “ пустой ” ячейке электронной таблицы. Тогда сумма появится в Итоговой таблице автоматически. Но для записи этой формулы в электронную таблицу нужно знать номера двух ячеек этой же электронной таблицы, в которых предварительно заготовлены СК _lj и КЧ _lj. Следовательно, в ходе подготовки плана следует предусмотреть ещё две рабочие ячейки, и в одну из них записать формулу

СК_{i j} = y_uj ², а в другую – КЧ _lj = ( y_uj)².

Такие же рассуждения справедливы и относительно формул, которые где-то надо записать, чтобы нужные во второй и третьей строках этого же столбца итоговые формулы

((Σ _έ ) = [СК _lj– КЧ_А] и (Σ _мг) = [КЧ_А – КЧ _lj ]) «сработали ” соответствующим образом.

Все подобные формулы сложны и громоздки для использования в электронных таблицах. Поэтому на практике следует действовать иначе: вначале “ запасаться ” промежуточными величинами, которые считаются по относительно простым формулам.

В данном случае поступают следующим образом. В строке электронной таблицы, следующей сразу после план-матрицы (на приведённой ниже таблице план-матрица обведена «жирной» линией, а строка помечена символом А_l) в каждой из n ячеек размещается одна та же формула А _l = y_lj, по которой считается сумма всех откликов соответствующего столбца (заметим, что в ячейках одного столбца исследуемый фактор А не изменяется, но вычисляемая сумма будет изменятся вместе с номером столбца и эти изменения будут обусловлены только изменением уровня фактора А, чем и объясняется использование здесь символа А _l). В следующей строке аналогичным образом можно разместить (А _l)² и далее суммирование всех (А _l)², а в самой правой ячейке этой же строки можно разместить формулу для вычисления корректирующего члена.

Ниже в рабочей таблице следует продублировать ячейки основной план-матрицы, разместив в каждой из них алгоритм возведения в квадрат значений отклика, измеренного в каждом опыте. Эти квадраты ({ y_ij ²}) потребуются в формуле, по которой электронная таблица в (n +2)^ой ячейке этой последней строки вычислит и здесь же “ запасёт ” СК _ij. Присмотревшись внимательно к дополненной таким образом исходной план-матрице, легко обнаружить, что в ней уже присутствуют не только все промежуточные величины, но и необходимые для вычисления представленных выше трёх итоговых сумм

((Σ _ij), (Σ _έ ) и (Σ _мг)) их основные слагаемые КЧ _ij, СК _ij и КЧ_А.

Номера именно этих трёх ячеек должны фигурировать в алгоритмах вычислений, которые будут вписываться в якобы «пустые» ячейки третьей колонки Итоговой таблицы эксперимента, подготавливаемой в ходе его планирования.

Подготовка электронной таблицы

для учёта и автоматизированной обработки опытных данных

в ходе эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе

n– количество уровней фактора А, m – количество опытов на каждом уровне.

Уровни фактора А

Номер опыта	a1	a2	a3	a l	аn	n	nm
	y11	y21	y31	….y l 1	yn1		-
	y12	y22	y32	….y l 2	yn2	-	-
	y13	y23	y33	….yi3	yn3	-	-
j	y1 j	y2j	y3j	.y l j…	ynj	-	-
m	y1m	y2m	y3m	….y l m.	ynm	-	-
А l	y1j	y2j	y3	.. ylj.	y n j	ylj	КЧ lj
(А l)2	(А1 )2	(А2 )2	(А2 )2	. (А l)2	(А n)2	(А l)2	КЧA
	y211	y221	y231	….y2 l 1	y2n1	-	-
	y212	y222	y232	….y2 l 2	y2 n 2	-	-
	y213	y223	y233	….y2 l 3	y2n3	-	-
… ..j ….	…. y21 j ….	… y22j ….	…. y23j ….	….. ….y2 l …….	….. y2nj ….	-	-
m	y21m	y22m	y23m	….y2 l m	y2nm	-	-
y 2 lj	y 2 1j	y 2 2j	y 2 3j	y 2 lj.	y 2n j	-	СК lj

Рабочие оценки дисперсии (s ² – s ²_вэ) ~ σ _А ²– грубая оценкаи

(s _мг ² – s _έ ²) ~ σ _А ² – уточнённая оценка) должны быть программно проверены на значимость по известным в математической статистике табличным критериям проверки гипотез за пределами Итоговой таблицы.