Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основные этапы вычислительного эксперимента.






В общем случае, основные этапы решения задачи с применением ЭВМ можно рассматривать как один технологический цикл вычислительного эксперимента. А вообще, вычислительный эксперимент как новая методика исследования " состоялся" после того, как удалось на каждом из этапов традиционной цепочки эффективно использовать вычислительную машину.

Все этапы технологического цикла вычислительного эксперимента тесно связаны между собой и служат единой цели - получению с заданной точностью за короткое время адекватного количественного описания поведения изучаемого реального объекта в тех или иных условиях. Поэтому все этапы технологического цикла должны быть одинаково прочными. Слабость в одном звене влечёт за собой слабость в остальных звеньях технологии.

Теперь основные этапы вычислительного эксперимента:

· Проведение натурного эксперимента

· Построение математической модели

· Выбор и применение численного метода для нахождения решения

· Обработка результатов вычислений

· Сравнение с результатами натурного эксперимента

· Принятие решения о продолжении натурных экспериментов

· Продолжение натурного эксперимента для по

· лучения данных, необходимых для уточнения модели

·  Накопление экспериментальных данных

·  Построение математической модели

·  Автоматическое построение программной реализации математической модели

·  Автоматизированное нахождение численного решения

·  Автоматизированное преобразования результатов вычислительных в форму, удобную для анализа

·  Принятие решения о продолжении натурных экспериментов

· Видоизмененная цепочка реализованная в виде единого программного комплекса и составляет " технологию" вычислительного эксперимента.

· В наиболее общем виде этапы вычислительного эксперимента можно представить в виде последовальности технологических операций (они реализованы в соответствующих блоках программного комплекса):

· Построение математической модели.

· Преобразование математической модели.

· Планирование вычислительного эксперимента.

· Построение программной реализации математической модели

· Отладка и тестирование программной реализации.

· Проведение вычислительного эксперимента.

· Документирование эксперимента.

· Для проведения крупномасштабных научных исследований используется модульная технология, основанная на модульном представлении: математических моделей; вычислительных алгоритмов; программ для ЭВМ; технических средств. Сборка программ из модулей проводится автоматически, с помощью специальной программы. Создаются программные комплексы и проблемно-ориентированные пакеты прикладных программ многоцелевого назначения. Характерная особенность пакетов состоит в возможности постоянного развития, расширения благодаря включению новых модулей, реализующих новые возможности. Следует отметить, что один и тот же пакет прикладных программ может быть использован в вычислительных экспериментах для исследований различных реальных объектов.

· 4. Сферы применения вычислительного эксперимента и математического моделирования.

· В современной науке и технике появляется всё больше областей, задачи в которых можно и нужно решать методом вычислительного эксперимента, с помощью математического моделирования. Обратим внимание на некоторые из них.

· Энергетическая проблема. Прогнозирование атомных и термоядерных реакторов на основе детального математического моделирования происходящих в них физических процессов. В этой области работа ведётся очень успешно. Вычислительный эксперимент тесно сопрягается с натурным экспериментом и помогает, заменяет и удешевляет весь исследовательский цикл, существенно его ускоряя.

· Космическая техника. Расчёт траекторий летательных аппаратов, задачи обтекания, системы автоматического проектирования. Обработка данных натурного эксперимента, например радиолокационных данных, изображений со спутников, диагностика плазмы. Здесь очень важной оказывается проблема повышения качества приборов, и в частности измерительной аппаратуры. Между тем, в настоящее время показано, что, используя измерительный прибор среднего качества и присоединив к нему ЭВМ, можно на основе специальных алгоритмов получить результаты, которые дал бы измерительный прибор очень высокого качества. Таким образом, сочетание измерительного прибора с компьютером открывает новые возможности.

· Технологические процессы. Получение кристаллов и плёнок, которые, кстати, нужны для создания вычислительной техники, для решения проблем в области элементарной базы (что невозможно без математического моделирования); моделирование теплового режима конструктивных узлов перспективных ЭВМ, процессов лазерной плазмы, технологии создания материалов с заданными свойствами (это одна из основных задач любой технологии).

· Экологические проблемы. Вопросы прогнозирования и управления экологическими системами могут решаться лишь на основе математического моделирования, поскольку эти системы существуют в “единственном экземпляре”.

· Гео- и астрофизические явления. Моделирование климата, долгосрочный прогноз погоды, землетрясений и цунами, моделирование развития звёзд и солнечной активности, фундаментальные проблемы происхождения и развития Вселенной.

· Химия. Расчёт химических реакций, определение их констант, исследование химических процессов на макро- и микроуровне для интенсификации химической технологии.

· Биология. Особо следует отметить интерес к математическому моделированию в связи с изучением фундаментальных проблем этой науки (генетики, морфогенеза) и разработкой новых методов биотехнологии.

· Классической областью математического моделирования является физика. До недавнего времени в физике микромира (в квантовой теории поля) вычислительный эксперимент не применялся, так как было принято использовать метод малого параметра, таким является постоянная тонкой структуры. Однако сейчас физики-теоретики пришли к выводу, что процессы в микромире сильно нелинейны, и поэтому необходимо переходить к численным методам, и для этой цели даже разрабатываются специальные компьютеры.

Анализ математических моделей с помощью вычислительного эксперимента с каждым годом завоёвывает новые позиции. В 1982 г. Нобелевская премия по физике была присуждена К. Вильсону, предложившему ряд фундаментальных моделей в теории элементарных частиц и критических явлений, которые необходимо исследовать численно. В 1979 г. Нобелевской премией по медицине была удостоена работа в области вычислительной томографии (восста овление объёмного предмета по набору его сечений). В 1982 г. Нобелевской премией по химии отмечена работа, в которой методами вычислительной томографии восстанавливалась структура вируса по данным электронной микроскопии.

Каждая из этих работ приводит к постановке глубоких математических задач, для решения которых необходим вычислительный эксперимент. При постановке вычислительного эксперимента в различных областях используются пакеты прикладных программ.

 

 

1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ.

Классификация моделей

Модели делятся на физические и абстрактные. Физическая модель - это материализованная система (например, тренажер).Физические модели воспроизводят геометрические, физические и др. свойства объекта в материальной форме.

Абстрактные модели это описание объекта проектирования или наследования на каком-либо языке (граф, программа, блок-схема, система аналитических выражений).

Модели

физическиеабстрактные

(макет, тренажер) математические

табличные

вербальные

графические

 

Математические могут быть детерминированными и стохастическими (случайный процесс).

Детерминированные – это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными, описывающими объект или явление. Но часто моделируемый объект сложен

 

Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания.

ЭММ подразделяются на:

¾ детерминистические, в которых все параметры определяются точно;

¾ стохастические, учитывающие случайность и неопределенность

Детерминистические модели подразделяют на:

¾ балансовые;

¾ оптимизационные.

Оптимизационные модели подразделяются на:

¾ линейные (например, расход семян и увеличение площади посева);

¾ нелинейные (расход к.ед. и выход продукции).

 

Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-эконо­мическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность исполь­зования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория " линейной экономики" существенно отличается от теории " нели­нейной экономики". От того, предполагаются ли множества произ­водственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) вы­пуклыми или же невыпуклыми, существенно зависят выводы о воз­можности сочетания централизованного планирования и хозяйс­твенной самостоятельности экономических подсистем.

 

Экономико-статистические модели представляют собой корреляционные уравнения связи зависимого фактора и нескольких независимых факторов, которые определяют количественные значения зависимого фактора.

По временным характеристикам моделируемых процессов различают:

¾ долгосрочные модели (свыше 5 лет);

¾ среднесрочные (до 5 лет);

¾ краткосрочные (до 1 года).

По уровню управления объектами различают:

¾ межотраслевые модели;

¾ отраслевые модели;

¾ региональные модели;

¾ хозяйственные модели.

По назначению моделей в процессе управления различают:

¾ прогнозные;

¾ плановые;

¾ аналитические;

¾ оперативно-управленческие.

По структуре и характеру взаимосвязи показателей различают:

¾ однофакторные;

¾ многофакторные;

¾ однокритериальные;

¾ многокритериальные;

¾ статические, где все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени;

¾ динамические, которые характеризуют изменения экономических процессов во времени;

¾ модели простой структуры;

¾ модели сложной структуры.

 

Общая классификация экономико-математичес­ких моделей включает более десяти основных признаков. С разви­тием экономико-математических исследований проблема классифи­кации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением но­вых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

 

 

1.1. Классификация математических моделей и требования, предъявляемые к ним

В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технической системы различают три иерархических уровня: метауро­вень, макроуровень, микроуровенъ.

Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования (научно- технический поиск и прогнозирование; разработка концепции и технического решения). Для построения математических моделей метауровня используют методы теории графов, теории автоматического управления, теории массового обслуживания и т.д.

На макроуровне объект моделирования рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами. Математические модели макро­уровня представляют собой систему однородных дифференциальных уравне­ний и используются при определении параметров технического объекта и его элементов.

На микроуровне объект представляется как сплошная среда с распреде­ленными параметрами. Для описания работы таких объектов используют диф­ференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проекти­руют неделимые по функциональному признаку элементы системы (рамы, па* не ли, корпусные детали и др.).

По форме представления моделей различают инвариантную, алгоритми­ческую и графическую.

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических) без учета метода решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма.Аналитическая форма математической модели представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (зависимости выход­ных параметров объекта от внутренних и внешних). Такие модели получают на основе физических законов или в результате прямого интегрирования исход­ных дифференциальных уравнений (используя табличные интегралы).

Графическая модель представляется в виде эквивалентных динамических схем, графов, диаграмм и т.п.

По характеру отображаемых свойств объекта математические модели делятся на функциональные и структурные.

Структурные математические модели отображают только структуру объектов и используются в решении задач структурного синтеза. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов и широко применяются на ме­тауровне при выборе технического решения.

Функциональные модели описывают процессы функционирования техни­ческих объектов и представляют собой систему уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Их используют на всех ие­рархических уровнях, стадиях и этапах проектирования. На метауровне функ­циональные модели позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуров­не - выбора структуры и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на микроуровне - оптимизации параметров неделимых элементов и несущих конструкций.

По способу получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процес­сов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе изучения " поведения" объекта во внешней среде без учета физических процессов.

При построении теоретических моделей используют физический (приме­нение законов физики, Ньютона, Гука и др.) и формальный (применение обще­математических принципов, уравнений Лагранжа 2-го рода и др.) подходы.

Экспериментальные модели всегда формальны и не учитывают физиче­ские свойства, а лишь устанавливают связь между отдельными параметрами, которыми можно варьировать.

Экспериментальные модели адекватно описывают исследуемые процессы лишь в ограниченной области факторного пространства, в которой осуществля­лось изменение параметров, Поэтому в отличие от физических, эксперимен­тальные модели носят частный характер.

Функциональные математические модели могут быть линейными и нели­нейными.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых перемен­ных и их производных. Математические модели большинства реальных техни­ческих объектов включают нелинейные функции фазовых переменных или их производных и называются нелинейными.

Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта и (или) изменение во времени параметров объекта, то модель называют динами­ческой. В противном случае модель статическая. Динамическая модель в об­щем случае представлена системой дифференциальных уравнений, а статиче­ская - системой алгебраических уравнений.

Достаточно часто воздействия внешней среды и внутренние параметры системы носят случайный характер. В этих случаях необходимо применение вероятностных математический моделей, позволяющих оценивать происходя­щие в объекте процессы вероятностными и статистическими характеристиками: вероятностью событий, корреляционной функцией, математическим ожидани­ем, дисперсией и др. Такие модели достаточно сложны и применяются на за­ключительных этапах проектирования. В отличие от них детерминированные математические модели характеризуются взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на систему и ее реакцией на это воздействие.

Следует отметить, что ко всем математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности и универсальности.

Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, которая, в свою очередь, оценивается степенью совпа­дения значений выходных параметров, полученных в процессе моделирования, с истинными их значениями. Так, относительная погрешность (-го выходного параметра определяется выражением

где у, - значение i-го выходного параметра, полученное в процессе моделиро­вания; у, - значение того же параметра, полученное при испытаниях техниче­ского объекта.

Погрешность по всей совокупности т учитываемых выходных парамет­ров можно оценить выражением


 

Экономичность математической модели характеризуется затратами вре­мени и вычислительных ресурсов при ее разработке и реализации. Иногда в ка­честве показателей экономичности используют размерность системы уравне­ний, количество используемых параметров и т.п.

Универсальность математической модели характеризует полноту ото­бражения свойств реального объекта. Как правило, математическая модель от­ражает лишь некоторые из них.

Требования, предъявляемые к математической модели, являются проти­воречивыми, что затрудняет их одновременное выполнение, поэтому в каждом конкретном случае целесообразно рассматривать особенности решаемой зада­чи.

1.4. Технология математического моделирования

Как правило, математическое моделирование включает два основных процесса:

1) разработка модели;

2) реализация модели, т.е. проведение машинного эксперимента с ис­пользованием разработанной модели с целью получения интересующих результатов.

В рамках этих двух процессов следует выделить следующие этапы, оп­ределяющие деятельность исследователя при моделировании.

Определение целей и задач моделирования. Правильная постановка за­дачи, как правило, так же важна, как и ее решение. Недостаточное внимание к этому этапу приводит к непроизводительным затратам на последующих стади­ях моделирования.

На этом этапе разработчик должен определить: для каких целей разраба­тывается модель; где и как модель будет использоваться; кем она будет исполь­зоваться (уровень знаний, квалификация пользователя); на какие вопросы должна давать ответы.

Определение объекта моделирования, предполагающее:

1) определение принципов функционирования объекта моделирования, что позволяет выделить группу сходных по функциональным признакам объек­тов, для моделирования которых может быть использована одна модель;

2) 2) определение границ объекта моделирования, т.е. того, что относится к объекту моделирования и что относится к окружающей среде; определение не­которого набора элементов и взаимосвязей, подлежащих моделированию.

Вербальное (словесное) описание объекта моделирования, включаю­щее:

1) описание объекта моделирования;

2) описание внешней среды, взаимодействующей с объектом моделиро­вания;

3) описание алгоритма функционирования объекта моделирования;

4) описание взаимодействия объекта моделирования с внешней средой.

Разработка концептуальной модели. Для достаточно простых моделей

этапы разработки вербального и концептуального описаний во многом совпа­дают. Для более сложных объектов целесообразно:

1) уточнить общий замысел разработки;

2) общую задачу моделирования разбить на подзадачи и установить при­оритет их решений;

3) выполнить декомпозицию объекта моделирования в соответствии с це­лями моделирования и структурой объекта моделирования;

4) описать компоненты, параметры, функциональные зависимости, огра­ничения, целевые функции.

Формальное описание объекта моделирования в терминах конкретной области знаний (теоретическая механика, термодинамика и т.д.). При этом не­обходимо определить области знаний, используемые для описания объекта мо­делирования; законы, постулаты, понятия этих областей знаний; характер этих законов (теоретические или экспериментальные); параметры, используемые в описании; пределы изменения параметров, критические значения, источники получения точности; наличие связей между параметрами.

Преобразование формального описания в математическую модель. При этом, как уже отмечалось, могут использоваться два подхода: формальный и физический.

Алгоритмизация и программная реализация модели на ЭВМ.

Испытание математической модели включает следующие этапы.

1. Задание исходной информации для испытания модели, которая зависит от типа модели. В случае если объект моделирования существует, исследова­тель может провести необходимые испытания и получить необходимую ин­формацию. При моделировании проектируемых систем, когда нет возможности получить данные экспериментальным путем, используются результаты испыта­ний прототипов. В случае отсутствия прототипов используются экспертные оценки параметров модели.

2. Верификация исходной модели, заключающаяся в доказательстве соот­ветствия алгоритма функционирования модели ее замыслу, как правило, в про­цессе ее комплексной отладки. Заказчик разрабатывает для этого собственные тесты.

3. Проверка адекватности математической модели. В случае неудовле­творительной адекватности осуществляется калибровка математической моде­ли, цель которой состоит в уменьшении неточностей в описании, обусловлен­ных ошибочной или недостаточно подробной формулировкой компонентов мо­дели. В ходе калибровки производятся глобальные (добавление программ опи­сания процессов, компонентов модели и т.д.) и локальные изменения (измене­ние компонента). При этом изменения начинаются с более простых и заканчи­ваются более сложными.

Исследование свойств математической модели, проводимое после достижения требуемого уровня адекватности математической модели и пред­полагающее оценку:

1) границ моделирования, определяющих допустимые изменения пара­метров, при которых модель сохраняет свои свойства;

2) погрешностей моделирования, оцениваемых во всей области модели­рования, т.к. их значения в различных точках могут существенно отличаться;

3) времени решения и вычислительных ресурсов;

4) устойчивости математической модели, под которой понимается сте­пень ее нечувствительности к изменению входных величин;

5) чувствительности математической модели, т.е. диапазона изменения отклика при изменении каждой входной величины.

Упрощение модели. Первоначальные упрощения модели выполняются на этапах составления концептуальной модели и формального описания. Однако нередко после испытаний математической модели возникает необходимость ее упрощения с целью повышения экономичности. Для упрощения пользуются одним из нижеперечисленных приемов.

Понижение пространственной размерности задачи, существенно упро­щающее не только разработку, но и эксплуатацию модели. При снижении про­странственной размерности задачи на единицу объем вычислений сокращается на 2...3 порядка.

Предположение процесса независимым от времени, т.е. переход от дина­мической модели к статической. Этот подход можно использовать и для про­цессов, зависящих от времени. При этом динамическое состояние объекта мо­делируется как совокупность его статических состояний в различные периоды времени.

Введение более жестких предположений и ограничений, касающихся структуры модели, отдельных ее элементов, характера взаимодействий между ними, окружающей среды и ее взаимодействия с объектом моделирования.

Исключение некоторых переменных или объединение их.

Замена нелинейных зависимостей линейными.

Замена переменных константами.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.