Учет эффекта вытеснения тока.

Известно, что с увеличением часто­ты тока в стержнях обмотки короткозамкнутого ротора возникает эф­фект вытеснения тока, в результате которого плотность тока в верхней части стержней возрастает, а в ниж­ней уменьшается. При этом актив­ное сопротивление ротора увеличи­вается, а индуктивное – уменьша­ется. Изменение сопротивлений ротора влияет на пусковые харак­теристики машины.

В большинстве случаев эффект вытеснения тока в обмотках короткозамкнутых роторов играет поло­жительную роль, увеличивая на­чальные моменты двигателей. Это широко используют при проектиро­вании асинхронных машин, выпол­няя роторы с глубокими прямо­угольными или фигурными пазами или с двойной беличьей клеткой, в которых эффект вытеснения тока проявляется особенно сильно. Одна­ко неравномерное распределение плотности тока по сечению стержня ротора может привести и к нежела­тельным последствиям. Например, при неудачно выбранных размер­ных соотношениях стержней чрез­мерно возрастающая в пусковых режимах плотность тока в их верх­них участках может вызвать нерав­номерное тепловое удлинение стержней и их изгиб. При этом стержни разрывают усики пазов и выгибаются в воздушный зазор, что неизбежно приводит к выходу дви­гателя из строя. В связи с этим правильный учет влияния эффекта вытеснения тока является необходи­мым при проектировании асинхрон­ных машин с короткозамкнутыми роторами.

В расчетах оказалось удобнее определять не непосредственно ак­тивное и индуктивное сопротивле­ния стержней при неравномерной плотности тока, а их относительные изменения под действием эффекта вытеснения тока. Эти изменения оцениваются коэффициентами и . Коэффициент показывает, во сколько раз увеличилось активное сопротивление пазовой части стержня при неравномерном распре­делении плотности тока в нем по сравнению с его сопротивлением при одинаковой плотности по всему сечению стержня :

. (228)

Коэффициент демпфирования показывает, как уменьшилась маг­нитная проводимость участка паза, занятого проводником с током, при действии эффекта вытеснения тока по сравнению с проводимостью того же участка, но при равномер­ной плотности тока в стержне :

. (229)

Аналитическими выражениями, определяющими и , полученны­ми для прямоугольных стержней при допущениях о постоянстве удельного сопротивления материа­ла стержня по всей площади его по­перечного сечения, бесконечности магнитной проницаемости стали магнитопровода и прямолинейности магнитных линий потока рассеяния в пазу, являются:

(230)

В этих выражениях , так назы­ваемая приведенная высота стерж­ня, – величина безразмерная, зна­чение которой определяется по фор­муле

, (231)

где – высота стержня в па­зу, м;

и – ширина стержня и ши­рина паза, м. При рас­чете роторов со встав­ными стержнями прини­мают ; при ро­торах с литой обмоткой ;

– частота тока в роторе в расчетном режиме, Гц;

– удельное сопротивление материала тержня при расчетной температуре, Ом ^. м.

Для двигателей общего назначе­ния с медными вставными стержня­ми короткозамкнутого ротора при расчетной температуре 75⁰С ( Ом ^. м) из (231) имеем:

. (232)

При расчетной температуре 115⁰С ( Ом ^. м)

. (233)

При литой алюминиевой обмот­ке ротора при расчетных температу­рах 75 ( Ом ^. м) и 115 ( Ом ^. м) соответ­ственно имеем:

(234)

и

. (235)

Анализ зависимостей (230) по­казывает, что при эффект вы­теснения тока практически не влия­ет на сопротивления стержней. Это является критерием необходимости его учета при проектировании.

В расчетах условно принимают, что при действии эффекта вытесне­ния ток ротора распределен равно­мерно, но не по всему сечению стержня, а лишь по его верхней час­ти, ограниченной, высотой , имею­щей сечение и сопротивление ; называют глубиной проникновения тока в стержень. Для прямоугольных стержней .

При определении аналогично принимают, что ток равномерно распределен по верхней части сече­ния стержня высотой .

В практических расчетах для оп­ределения и пользуются не ана­литическими зависимостями (230), а построенными на их основе кри­выми и (рис. 46, 47). Принятые при выводе (230) допу­щения приводят к положению, что на глубину проникновения не влия­ют высота и конфигурация стержня. Это позволяет использовать (230). и кривые и для опреде­ления и в стержнях различных конфигураций. Расчет проводят в следующей последовательности. По полной высоте стержня, частоте то­ка и удельному сопротивлению ма­териала стержня по (231) определяют функцию , в соответствии с которой по кривым рис. 46 находят функцию , а по кривым рис. 47 – функцию . Далее определяют глубину про­никновения тока

(236)

и коэффициент .

Коэффициент находят по от­ношению площадей всего сечения стержня и сечения, ограниченного высотой , т. е.

. (237)

По значениям и можно най­ти сопротивление пазовой части стержня обмотки ротора и коэффи­циент магнитной проводимости участка паза ротора, занятого стержнем с током,

; (238)

Рис. 46. Кривые и в функции приведенной высоты ( при и при ).

; (239)

Для определения в стержнях некоторых наиболее распространен­ных конфигураций используют зара­нее полученные расчетные формулы. Для прямоугольных стержней (рис. 48, а)

. (240)

Рис. 47. Зависимость коэффициента от приведенной высоты ( при ).

Для круглых стержней (рис. 48, б)

. (241)

Функция для круглого стержня представлена на рис. 46.

Для грушевидных стержней (рис. 48, в)

(242)

Площадь сечения при

, (243)

где

;

.

При площадь

. (244)

Для трапецеидальных стержней с узкой верхней частью (см. рис. 48, г)

, где и определяют соответствен­но по (242) и по (243) или по (244);

. (245)

Для других конфигураций стержней может быть определен из общего выражения с учетом размерных соотношении стержня.

Для расчета характеристик необ­ходимо учитывать изменение сопро­тивления всей обмотки ротора , поэтому удобно ввести коэффици­ент общего увеличения сопротивле­ния фазы ротора под влиянием эф­фекта вытеснения тока:

, (246)

где – сопротивление фазы короткозамкнутого ротора с учетом влияния эффекта вытеснения тока.

Выражение (246) легко преоб­разовать в более удобный для рас­чета вид:

. (247)

Для прямоугольных стержней это выражение приобретает вид:

. (248)

Активное сопротивление фазы обмотки ротора с учетом вытесне­ния будет равно:

(249)

Обозначив коэффициентом – изменение индуктивного сопротив­ления фазы обмотки ротора от дей­ствия эффекта вытеснения тока, имеем:

, (250)

Тогда

, (251)

где – коэффициент магнитной проводимости пазового рассеяния с учетом эф­фекта вытеснения тока, рассчитанный по форму­лам табл. 23 при .

Влияние насыщения на парамет­ры. В предыдущих разделах рас­сматривались методы расчета пара­метров при допущении отсутствия насыщения стали магнитопровода полями рассеяния, магнитная про­ницаемость которой принималась равной бесконечности. При расче­тах параметров холостого хода и рабочих режимов это допущение вполне оправдано, так как токи в этих режимах относительно малы и потоки рассеяния не создают замет­ного падения магнитного напряже­ния в стали зубцов. При увеличении скольжения свыше критического и в пусковых режимах токи в обмотках возрастают и потоки рассеяния уве­личиваются. Коронки зубцов стато­ра и ротора в машинах средней и большой мощности в большинстве случаев оказываются сильно насы­щенными.

Насыщение коронок зубцов (рис. 49) приводит к увеличению маг­нитного сопротивления для части потока рассеяния, магнитные линии которого замыкаются через верх­нюю часть паза. Поэтому коэффици­ент магнитной проводимости пазового рассеяния уменьшается. Несколько снижается также магнит­ная проводимость дифференциаль­ного рассеяния. На коэффициент магнитной проводимости лобового рассеяния насыщение стали потока­ми рассеяния сколько-нибудь за­метного влияния не оказывает.

Рис. 48. Расчетная глубина проникновения тока в стержнях различной конфигурации

	Рис. 49. Насыщенные участки коронок зубцов потоками рассеяния.		Рис. 50. Функция в зависимос-ти от фиктивной индукции .

Уменьшение потока пазового рассеяния из-за насыщения прибли­женно учитывают введением допол­нительного раскрытия паза, равно­го . Величина дополнительного рас­крытия с берется такой, чтобы его магнитное сопротивление потоку рассеяния было равно магнитному сопротивлению насыщенных участ­ков зубцов. При этом условии мож­но использовать для расчета коэф­фициент магнитной проводимости паза с учетом насыщения обычные формулы, предполагая, что . Уменьшение из-за насыщения участков зубцов () будет оп­ределяться . Таким образом, за­висит от уровня насыщения верхней части зубцов потоками рассеяния и, следовательно, от МДС паза, т. е. от тока в обмотке. Так как ток обмот­ки в свою очередь зависит от индук­тивного сопротивления, определяе­мого магнитной проводимостью, то расчет приходится проводить мето­дом последовательных приближе­ний. Первоначально задаются пред­полагаемой кратностью увеличения тока, обусловленной уменьшением индуктивного сопротивления из-за насыщения зубцовой зоны,

,

где – ток, рассчитанный для данного режима без учета насыщения;

– ток в этом же режиме, ра­боты машины при насыще­нии участков зубцов поля­ми рассеяния.

Ориентировочно для расчета пусковых режимов принимают ; для режима макси­мального момента .

Для двигателей с открытыми па­зами следует задаваться меньшими значениями , при полузакрытых пазах – большими.

Расчет проводят в следующей последовательности. Определяют среднюю МДС обмотки, отнесенную к одному пазу обмотки статора,

, (252)

где – ток статора, соответствую­щий расчетному режиму, без учета насыщения;

– число параллельных вет­вей обмотки статора;

– число эффективных про­водников в пазу статора;

– коэффициент, учитываю­щий уменьшение МДС паза, вызванное укорочени­ем шага обмотки; рассчи­тывается по (151) или (152);

– коэффициент укорочения шага обмотки;

– обмоточный коэффициент.

По средней МДС рассчиты­вают фиктивную индукцию потока рассеяния в воздушном зазоре

, (253)

где коэффициент

(254)

( – зубцовые деления статора и ротора).

По полученному значению определяется отношение потока рас­сеяния при насыщении к потоку рас­сеяния ненасыщенной машины, ха­рактеризуемое коэффициентом , значение которого находят по кривой рис. 50.

Далее рассчитывают значения дополнительного раскрытия пазов статора и ротора. Для пазов статора его принимают равным

. (255)

Вызванное насыщением от полей рассеяния уменьшение коэффициен­та проводимости рассеяния откры­того паза статора (рис. 51, а)

. (256)

Для полуоткрытых и полуза­крытых пазов расчетная формула несколько усложняется из-за более сложной конфигурации их верхних клиновых частей. Для полуоткрыто­го паза (рис. 51, б)

. (257)

Рис. 51. К расчету влияния насыщения полями рассеяния.

Для полузакрытого паза (рис, 51, в, г)

. (258)

Для фазных и короткозамкнутых роторов дополнительное раскрытие рассчитывают по формуле

. (259)

Уменьшение коэффициента про­водимости для открытых и полуза­крытых пазов ротора (рис. 51, д, е, ж)

. (260)

Коэффициент магнитной прово­димости пазового рассеяния при на­сыщении определяют для ста­тора из выражения

, (261)

где – проводимость, рассчитан­ная без учета насыщения.

Для ротора

, (262)

где – проводимость пазового рассеяния ротора для ненасыщен­ной зубцовой зоны с учетом влия­ния вытеснения тока.

Коэффициенты проводимости дифференциального рассеяния при насыщении участков зубцов статора и ротора

(263)

Значения берут по кривым рис. 50.

Индуктивное сопротивление об­мотки статора с учетом насыщения от полей рассеяния определяют по отношению сумм коэффициентов проводимости, рассчитанных без учета и с учетом насыщения от по­лей рассеяния,

. (264)

Для ротора принимают отноше­ния сумм проводимостей, рассчи­танных без учета влияния насыще­ния и действия эффекта вытеснения тока (для номинального режима) и с учетом этих факторов,

. (265)

Значения параметров и используют при. расчете точек характеристик при скольжениях . Полученные для каждой из точек характеристики значения кратности токов сравнивают с при­нятыми коэффициентами . Если расхождение превышает 10 – 15%, то расчет для этого значения по­вторяют, внося соответствующую корректировку в первоначально принимаемый коэффициент .

Расчет пусковых характеристик. Пусковые свойства асинхронных двигателей характеризуются на­чальным пусковым и максимальным моментами и начальным пусковым током. В двигателях с фазными ро­торами начальный момент и пуско­вой ток определяются сопротивле­нием пускового реостата. В двига­телях с короткозамкнутыми ротора­ми значения моментов и начального тока зависят от соотношении пара­метров. Кроме того, важным пока­зателем пусковых свойств короткозамкнутого двигателя является зна­чение минимального момента. Уменьшение момента в процессе разгона двигателя может произой­ти при уменьшении скольжения в связи с изменением соотношения па­раметров.

Стандарты на асинхронные дви­гатели устанавливают наименьшие допустимые относительные значения моментов и наибольшие относитель­ные значения начальных пусковых токов для выпускаемых асинхрон­ных машин в зависимости от их мощности, исполнения и числа пар полюсов. Для короткозамкнутых двигателей регламентируются зна­чения всех перечисленных выше мо­ментов и тока, а для двигателей с фазными роторами – только значе­ния максимальных моментов, т. е. перегрузочная способность двигате­лей.

В табл. 27 приведены данные из ГОСТ 19523-74 на асинхронные двигатели с короткозамкнутыми ро­торами серии 4А, которые содержат допустимые относительные значе­ния моментов и начального пуско­вого тока. Спроектированная зано­во асинхронная машина на базе се­рии 4А должна иметь пусковые ха­рактеристики, удовлетворяющие этим требованиям. В технических условиях или в заданиях на проек­тирование специальных асинхрон­ных двигателей могут быть постав­лены более жесткие требования к этим величинам.

Таблица 27

Кратность начальных пусковых моментов М_п*. и токов l_п*

асинхронных двигателей серии 4А (по ГОСТ 19523-74)

Исполнение	h, мм	£ 132	160 – 250	³ 280
2 p
A		1, 7 – 2, 0	6, 5 – 7, 5	1, 2 – 1, 4	7, 0 – 7, 5	1, 0 – 1, 2	6, 5 – 7, 0
	2, 0 – 2, 2	5, 0 – 7, 5	1, 2 – 1, 4	6, 5 – 7, 5	1, 2 – 1, 3	5, 5 – 7, 0
	2, 0 – 2, 2	4, 0 – 6, 5	1, 2 – 1, 3	5, 0 – 6, 5	1, 4	5, 5 – 6, 5
	1, 6 – 1, 9	4, 0 – 5, 5	1, 2 – 1, 4	5, 5 – 6, 0	1, 2	5, 5 – 6, 5
	-	-	1, 2	6, 0	1, 0	6, 0
	-	-	-	-	1, 0	6, 0
AH		-	-	1, 2 – 1, 3	7, 0	1, 0 – 1, 2	6, 5 – 7, 0
	-	-	1, 2 – 1, 3	6, 5	1, 0 – 1, 2	6, 0 – 7, 0
	-	-	1, 2	6, 0 – 7, 0	1, 2	6, 0
	-	-	1, 2 – 1, 3	5, 5 – 6, 0	1, 2	5, 0 – 5, 5
	-	-	-	-	1, 0	5, 5
	-	-	-	-	1, 0	5, 5

Примечание. Некоторые двигатели малой мощности с высотой оси вращения h £ 80 мм выполняются с уменьшенной кратностью начального пускового тока при 2 р =2 до l_п* =4, 0; при 2 p =4 – до l_п* =2, 5 и при большей полюсности – до l_п* =3, 0.

В практике расчетов часто огра­ничиваются определением только двух точек характеристик: началь­ного пускового и максимального мо­ментов и начального пускового то­ка. Такой расчет дает лишь прибли­женные сведения о пусковых свой­ствах двигателя и может привести к погрешности при определении пере­грузочной способности из-за неточ­ности определения критического скольжения. Поэтому при проекти­ровании целесообразно рассчиты­вать полные пусковые характерис­тики, т. е. зависимости и для всего диапазона изме­нения скольжений от до значе­ния, соответствующего режиму, близкому к номинальному.

Расчет пусковых характеристик затруднен необходимостью учета изменений параметров, вызванных эффектом вытеснения тока и насы­щением от полей рассеяния, так как при больших скольжениях токи в обмотках статора и ротора короткозамкнутых двигателей могут превы­шать свое минимальное значение в 7 – 7, 5 раз (см. табл. 27).

В то же время при больших то­ках увеличивается падение напря­жения на сопротивлении обмотки статора, что вызывает уменьшение ЭДС и снижение основного потока. Для учета этих факторов необходи­мо применение ЭВМ. При руч­ном счете используют упрощенные методы.

Индуктивное сопротивление вза­имной индукции с уменьшением насыщения магнитопровода увеличивается и в расчете пусковых ха­рактеристик для диапазона сколь­жений может быть принято равным

. (266)

Не внося большой погрешности, в расчетных формулах пусковых ре­жимов пренебрегают сопротивлени­ем .

При этом допущении коэффици­ент

. (267)

и сопротивление правой ветви Г-образной схемы замещения (см. рис. 43)

,

 

где

; . (268)

Ток в обмотке ротора

. (269)

Сопротивление всей схемы заме­щения

. (270)

Из (268) – (270) ток обмот­ки статора

. (271)

Полученные выражения (269) и (271) дают возможность рассчи­тать токи и моменты во всем диапа­зоне изменения скольжения при разгоне двигателя от до .

Расчет рекомендуется проводить в последовательности, определенной в формуляре (табл. 28). Сопро­тивления и должны быть оп­ределены заранее с учетом эффекта вытеснения тока для принятых зна­чений скольжения (для пяти-шести точек характеристики). Для учета влияния

Таблица 28