Параболоид эллиптический

Это поверхность, полученная из параболоида вращения (p > 0) сжатием пространства к плоскости, проходящей через ось вращения.

Пусть р = b, рассмотрим сжатие пространства к плоскости (уOz) с коэффициентом , где а > 0.

→

Получим каноническое уравнение эллиптического параболоида или (4).

Свойства.

1. Если точка , то ей принадлежат точки , , → тело симметрично относительно плоскостей (yOz), (xOz) и оси Oz.

Oz – ось эллиптического параболоида.

2. Точки пересечения с координатными осями.

→ → – вершина параболоида.

3. Пересечения с координатными плоскостями и им параллельными.

1) Пусть эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной (xOy):

→

a. Если h < 0, то – мнимый эллипс;

b. Если h = 0, то → → вершина ;

c. Если h > 0, то – эллипс.

2) Пусть эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной (xOz):

→ → – парабола с осью Oz;

Если h = 0, то .

3) Аналогичные сечения получаются при пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости (yOz).

Параболоид эллиптический можно получить другим способом.

Заставим параболу бегать по параболе . Эти параболы возьмем так, чтобы они имели общую вершину в начале координат и лежали в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (хOz) и (yOz).

: :

Пусть парабола переместилась в точку .

(1)

: (2)

Из (1) выразим и подставим в (2) →

или .

Если плоскость будет пробегать все действительные значения, то любая точка будет описывать поверхность, заданную уравнением

(3)

Возможны случаи:

1. р > 0, q > 0 → , → – уравнение эллиптического параболоида с осью Оz,

2. р > 0, q < 0 → , → (4) – уравнение гиперболического параболоида.