Уравнение движения жидкости в трубопроводах с сосредоточенными параметрами.

Принципиальная схема простейшего контура гидропривода представлена на рис1.

Обычно закон изменения входного давления Pвх(t) известен. Он может изменяться по следующим типовым законам(см. выше). Гидравлическая схема (рис.1) характерна для систем управления с 1-ой степенью подвижности и имеющих постоянный источник давления жидкости. В этом случае с помощью распределительного устройства клапанного или золотникового типа на вход магистрали 1 подаётся переменное давление Рвх. Это давление является функцией параметров системы питания, распределителя и закона изменения h(t) – перемещения рабочего органа распределителя. К исполнительному элементу приложена внешнее усилие F_C, которая является реакцией, действующей со стороны управляемых механизмов. Рассмотрим динамику гидравлической цепи, считая её системой с сосредоточенными параметрами с учётом податливости основных элементов. При составлении уравнений динамики для участка гидравлической цепи учитываем: инерционные потери (P_И) давления, потери по длине магистрали (P_L), определяемые с помощью непрерывной функции: , местные потери (P_M). Податливость оценивается нелинейным коэффициентом податливости ψ (P). Считаем что податливость сосредоточена на входе в гидроцилиндр. При рассмотрении динамических процессов сделаем следующие допущения: Волновые процессы в трубопроводе вследствие сравнительно малой длины не влияют на переходной процесс; температура, вязкость, плотность, количество нерастворённого воздуха не изменяются в течение переходного процесса; отсутствуют утечки р/ж. Расчётная схема:

Где m – масса жидкости в трубопроводе: ; l_ТР, А_ТР – длина и площадь поперечного сечения; R – гидравлическое сопротивление трубопроводов: ; R_l – гидравлическое сопротивление по длине; R_M – местное гидравлическое сопротивление; X – координата положения жидкости в начальный момент; Y – координата перемещения поршня. Пусть F_C – позиционная нагрузка, тогда закон перемещения поршня – функция нагрузки: F(y)=F_C Уравнение движения поршня гидроцилиндра без учёта массы поршня и сил трения:

A_П * p₁=F(y) (1) Баланс давлений: Р_ВХ=Р_И+P_L+P_M+P₁ (2) Где:

;

k_ε – коэффициент аппроксимации, зависящий от абсолютной шероховатости,

ξ – коэффициент сопротивления.

Баланс мгновенных расходов для узла Y₁: Q_ВХ=Q_У+Q_СЖ(3) Где: Q_У=А_П * dy/dt;

Q_СЖ=ψ (Р) * V * dp₁/dt; Q_ВХ=А_ТР * dx/dt. Тогда уравнение 3 запишем в виде:

(4) Проведём некоторые преобразования: из ур-я 1: (5) Продифференцируем уравнение 5: (6)