Механика твердого тела

7.1. Определить момент инерции материальной точки массой 0, 3 кг относительно оси, отстоящей от точки на расстоянии 20 см.

7.2. Два маленьких шарика массой 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной 20 см. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс.

7.3. Три маленьких шарика массой 10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности. Массой стержней, соединяющих шарики, пренебречь.

7.4. Три маленьких шарика массой 10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции системы относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шарики, пренебречь.

7.5. Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной 60 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на 20 см от одного из его концов.

7.6. Вычислить момент инерции проволочного прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины больших сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью 0, 1 кг/м.

7.7. На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3 m прикреплены маленькие шарики массами m и 2 m. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, лежащую на оси, на расстоянии от шарика меньшей массы.

7.8. На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3 m прикреплены маленькие шарики массами m и 2 m. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину.

7.9. На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3 m прикреплены маленькие шарики массами m и 2 m. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, лежащую на оси, на расстоянии от шарика большей массы.

7.10. На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3 m прикреплены маленькие шарики массами m и 2 m. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, лежащую на оси, на расстоянии от шарика большей массы.

7.11. Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов, перпендикулярно плоскости диска.

7.12. Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 2 кг относительно оси, касательной к ободу диска.

7.13. Вычислить момент инерции проволочного прямоугольника со сторонами 10 см и 15 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью 0, 2 кг/м.

7.14. Три маленьких шарика массой 10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через одну из его вершин. Массой стержней, соединяющих шарики, пренебречь.

7.15. Три маленьких шарика массой 10 г каждый расположены в вершинах квадрата со стороной 20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через свободную вершину. Массой стержней, соединяющих шарики, пренебречь.

8.1. Тело цилиндрической формы массой 2 кг и радиусом 10 см скатывается без скольжения по наклонной плоскости длиной 4 м и углом наклона . Скорость центра массы тела в конце наклонной плоскости 2 м/с. Определить момент инерции тела относительно оси симметрии.

8.2. Сплошной цилиндр массой 0, 1 кг катится без скольжения с постоянной скоростью 4 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра, время его остановки, если на него действует сила трения 0, 1 Н.

8.3. Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина которой 1 м и угол наклона . Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учитывать.

8.4. Полый цилиндр массой 1 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 2 м.

8.5. Обруч и диск скатываются с наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Чему равны их ускорения в конце спуска? Силой трения пренебречь.

8.6. Обруч катится по горизонтальной дороге со скоростью 18 км/ч. На какое расстояние он может подняться по наклонной плоскости за счет кинетической энергии, если уклон плоскости равен 5 м на каждые 50 м пути?

8.7. Шар и цилиндр одинаковых масс и радиусов движутся с одинаковой скоростью по горизонтальной поверхности, а потом поднимаются вверх по наклонной плоскости. Определить отношение высот подъема.

8.8. С наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол , скатываются шар, диск и обруч. Длина наклонной плоскости 4 м. Пренебрегая трением, определить линейные ускорения движения центров массы скатывающихся тел; время скатывания каждого тела; скорости каждого тела в конце наклонной плоскости.

8.9. Шар диаметром 6 см и массой 0, 25 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности с частотой вращения 4 об/с. Найти кинетическую энергию шара.

8.10. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара 10 см/с, после удара 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся в момент удара.

8.11. Мальчик катит обруч по горизонтальной поверхности со скоростью 7, 2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.

8.12. Найти линейные ускорения центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол плоскости , начальная скорость всех тел равна нулю.

8.13. Найти линейные скорости движения центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости, высота которой 0, 5 м. Начальная скорость всех тел равна нулю.

8.14. Цилиндр скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости с углом при основании . Каково ускорение центра масс цилиндра?

8.15. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 10 см?

9.1. Человек стоит на диске, который вначале неподвижен, но может вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через его центр. Момент инерции диска с человеком . В руках человек держит колесо, ось которого вертикальна и расположена на расстоянии 50 см от центра диска. Колесо вращается, делая 10 об/с. Определить угловую скорость вращения диска, если человек повернет ось колеса на . Масса колеса 3 кг.

9.2. На вращающемся столике стоит человек, держащий в руках горизонтально расположенную штангу так, что середина штанги находится над осью вращения столика. На концах штанги укреплены одинаковые тяжелые грузы. Система вращается, делая один оборот за 3 с. Определить угловую скорость вращения системы, если штанга наклонена под углом к горизонту. Моментом инерции столика и человека пренебречь.

9.3. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2 м, массой 200 кг, стоит человек, масса которого 60 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, определить угловую скорость вращения платформы, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 1 м/с относительно платформы. Момент инерции человека считать как для материальной точки.

9.4. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках металлический стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. При этом скамья вращается с угловой скоростью 4 . Момент инерции человека и скамьи . Длина стержня 1, 5 м, его масса 8 кг. Определить число оборотов скамьи в 1 с, если ось вращения скамьи проходит через середину стержня, и человек повернет стержень в горизонтальное положение.

9.5. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2 м, стоит человек массой 80 кг. Масса платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы.

9.6. На гладком горизонтальном столе лежит однородный стержень длины l, который может двигаться по столу без трения. В некоторый момент в него ударяется шарик, движущийся по столу перпендикулярно к стержню. На каком расстоянии x от центра стержня ударился шарик, если непосредственно после удара концы стержня начали двигаться со скоростями и .

9.7. В конец стержня массы M, лежащего на гладком горизонтальном столе, попадает шарик, летящий перпендикулярно к стержню и параллельно плоскости стола со скоростью . Считая массу m шарика малой по сравнению с М, определить кинетическую энергию стержня после удара, если удар был абсолютно упругий.

9.8. В доску массы М, лежащую на горизонтальном столе, попадает, застряв, пуля массы m, летящая перпендикулярно доске и параллельно плоскости стола со скоростью . Определить количество выделившегося в системе тепла, если точка попадания пули находится от конца доски на расстоянии в 1/4 ее длины. Считать, что m < < M; шириной доски пренебречь.

9.9. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой 0, 4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 80 см от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен .

9.10. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его вернется в исходную точку на платформе? Масса платформы равна 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

9.11. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

9.12. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках металлический стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. При этом скамья вращается с угловой скоростью 4 рад/с. Момент инерции человека и скамьи . Длина стержня 1, 5 м, его масса 8 кг. Определить число оборотов скамьи в 1 с, если человек повернет стержень так, что ось вращения скамьи будет проходить через середину стержня и составлять угол со стержнем.

9.13. Два горизонтально расположенных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно оси равны и и угловые скорости и . После падения верхнего диска на нижний оба диска, благодаря трению между их поверхностями, начинают вращаться через некоторое время как единое целое. Найти установившуюся угловую скорость дисков.

9.14. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках металлический стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. При этом скамья вращается с угловой скоростью 4 рад/с. Момент инерции человека и скамьи . Длина стержня 1, 5 м, его масса 8 кг. Определить частоту вращения скамьи, если человек повернет стержень так, что ось вращения скамьи будет проходить через середину стержня и составлять угол со стержнем.

9.15. На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длины 1 м и массы . По плоскости перпендикулярно стержню со скоростью 20 м/с движется шарик, масса которого в 3 раза меньше массы стержня. Шарик ударяет в точку стержня, отстоящую от его середину на расстоянии 0, 25 м. Как и с какой скоростью, будет двигаться после удара стержень, если шарик при ударе остановился?