Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Напряжения в поперечном сечении
Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии (рис.5.5), то после деформации кручение окажется что: - все образующие поворачиваются на один и тот же угол , а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы; - торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются; - каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторый угол , называемый углом закручивания; - радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми. На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю. Рассмотрим поперечное сечение вала, расположенное на некотором расстоянии z от торцевого, где Мк=T (рис.5.5). На элементарной площадке dF будет действовать элементарная сила , момент который относительно оси вала равен . Крутящий момент М к, в сечении равен . (5.3) Рис.5.5
Для того чтобы проинтегрировать это выражение необходимо знать закон распределения напряжений в сечении. Выделим из вала элементарное кольцо длиной dz и толщиной (рис.5.6). Правый торец элемента повернется относительно левого на угол , образующая СВ повернется на угол и займет положение СВ 1. Угол - относительный сдвиг. Из треугольника ОВВ 1 найдем: Рис.5.6 Рис.5.7
. Из треугольника СВВ 1: . Откуда, приравнивая правые части, получим . На основании закона Гука при сдвиге: . (5.4) Подставим выражение (5.2) в (5.1): . Откуда . (5.5) Подставим значение в выражение (5.4) получим: . Таким образом, касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки и одинаковы в точках, одинаково удаленных от центра тяжести сечения (рис. 5.7). При получим . Наибольшие напряжения возникают в точках контура сечения при : . Величина отношения полярного момента инерции к радиусу вала называется моментом сопротивления сечения при кручении или полярным моментом сопротивления . Для сплошного круглого сечения . Для кольцевого сечения , где .
Тогда максимальные касательные напряжения равны .
|