Простые Процентные ставки

Определение 1.1. Процентные ставки называются простыми, если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления.

Простые процентные ставки могут быть декурсивными и антисипативными.

При начислении процентных ставок используют два метода: метод наращения и метод дисконтирования.

1.1. Наращение по простой процентной ставке (FV по r)

Метод наращения используется для простых ставок ссудных процентов, которые обычно применяются в краткосрочных операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом и составляет, как правило, меньше года.

Введем обозначения:

(Present Value of Manay) – современная величина денег, или величина первоначальной денежной суммы;

(Interest) – сумма процентных денег, выплачиваемых за год.

Простая годовая ставка ссудного процента (далее просто процентная ставка) будет определяться по формуле

,

где (Interest) – процент, (Rate) – ставка.

В дальнейшем мы будем использовать относительную величину процентной ставки (десятичную дробь): вместо будет .

Обозначим через продолжительность периода начисления процента в годах. Тогда общая сумма процентов за весь период начисления равна:

.

Обозначим через (Future Value of Manay) будущее значение денег (наращенная сумма) и запишем формулу для ее нахождения:

.

Отношение будущей суммы к текущей сумме называется коэффициентом наращения и обозначается следующим образом:

.

Учитывая предыдущие формулы, получим окончательный вид для определения наращенной суммы по годовой процентной ставке.

или

.

Из предыдущей формулы найдем коэффициент наращения:

.

Обозначим через – продолжительность периода начисления в днях, – продолжительность года в днях, эта величина называется временной базой для расчета процентов. огда срок проведения операции корректируется по формуле

.

С учетом этого основная формула для определения наращенной суммы для краткосрочной операции, сроком менее одного года будет иметь вид:

.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции различают точный или коммерческий процент.

Точный процент получают, когда временная база равняется фактическому числу дней в году (365 или 366), а в качестве берется точное число дней ссуды. Дата выдачи и дата погашения ссуды считается за один день. Точное число дней ссуды определяется по специальной таблице, где указывается порядковый номер каждого дня года.

Обыкновенный, или коммерческий, процент получают, если в качестве временной базы используют условный или финансовый год, который равен 360 дням (каждый месяц по 30 дней).

Срок операции в днях может быть приблизительным (каждый месяц по 30 дней) и точным. Таким образом, в зависимости от параметров и возможны следующие варианты начисления процентов:

1. или – точное число дней проведения операции и фактическое количество дней в году;

2. – точное число дней проведения операции и финансовый год;

3. – приблизительное число дней и финансовый год.

Приблизительное число дней проведения операций используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа, а обыкновенный или коммерческий процент более удобно использовать в аналитических расчетах. Точные проценты обычно используются в официальных методиках Центрального банка России.

Пример 1. Ссуда в размере 50 тысяч денежных единиц выдана на 6 месяцев по простой ставке процентов 28 % годовых. Определить наращенную сумму.

Решение. Используем формулу

; 50 000(1+0, 28∙ 0, 5)=57 000(ден. ед.).

Ответ. Наращенная сумма равна 57 000 денежных единиц.

Пример 2. Кредит в размере 10 миллионов денежных единиц выдан 2 марта до 11 декабря под 30 % годовых. Год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета процента.

Решение. Точный процент находим по формуле ; ; FV =10 000 000(1+0, 30∙ 284/360)=12 327 868 (ден. ед.)

Коммерческий процент с точным числом дней в году найдем по формуле

FV= 10 000 000 (1+0, 30∙ 284/360)=12 366 666 (ден. ед.)

Коммерческий процент с приближенным числом дней в году найдем по формуле =(30 дн.∙ 8 мес.=240)+(29 дн. марта)+(11 дн. декабря)= 240+40=280;

FV = 10 000 000 (1+ 0, 30∙ 280/360) = 12 333 333 (ден. ед.).

Ответ. Наращенная сумма, полученная при начислении точного процента равна 12 327 868 денежным единицам. Наращенная сумма, полученная при начислении коммерческого процента с точным числом дней в году равна 12 366‍ 666 денежным единицам. Наращенная сумма, полученная при начислении коммерческого процента с приближенным числом дней в году равна 12 333 333 денежным единицам.

Пример 3. Найти сумму простого процента начисляемого за ссуду 3 000 денежных единиц на 5 месяцев при годовой ставке 7%.

Решение. Для решения примера используем формулу

=3 000(1+0, 07∙ 5/12)=3 087, 5 (ден. ед.). Сумма процентных денег будет равна разности FV–PV = 3 087, 5 – 3 000 = 87, 5 (ден. ед.)

Ответ. Сумма простого процента составит 87, 5 денежной единицы.

Пример 4. Найти точный простой процент и итоговую сумму, если 5 000 денежных единиц даны взаймы на 100 дней при годовой процентной ставке 4 %.

Решение. Используем формулу

= 5 000∙ (1+0, 04∙ 100/365) = 5 054, 8. Сумма процентных денег будет равна разности FV–PV = 5 054, 8 – 5 000 = 54, 8 (ден. ед.)

Ответ. Сумма простого процента составит 54, 8 денежной единицы, а наращенная сумма – 5 054, 8 денежной единицы.

Пример 5. Человеку, который инвестировал 100 000 денежных единиц, возмещено 101 000 денежных единиц девяноста днями позже. С какой годовой ставкой зарабатывались эти деньги при обыкновенном простом проценте?

Решение. Итак, нам известны FV= 101 000, PV= 100 000, = 90,

n= / 360 = 90/360=1/4. Воспользуемся формулой

или r= = = 0, 04 или 4 % годовых.

Ответ. Процентная ставка равна 4 % годовых.

1.2. Метод дисконтирования по простым процентам. Математическое дисконтирование (PV по r)

Определение 1.2.1. Дисконтированием называют приведение стоимостного показателя, относящегося к будущему на некоторый более ранний промежуток времени (т.е. по величине находим ). В этом случае говорят, что сумма дисконтируется или учитывается.

Процесс начисления процентов и их удержание в этом случае называют учетом, а сами удержанные проценты – дисконтом.

Величину , найденную с помощью дисконтирования, называют современной капитализированной стоимостью или компаундингом.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

1) математическое дисконтирование (используется обычная процентная ставка );

2) коммерческое дисконтирование, или банковский учет, (применяется учетная процентная ставка ).

Математическое дисконтирование представляет собой задачу, обратную наращению, и сводится к определению величины по известным величинам FV, и числа периодов , то есть из формулы

следует

или

Разность между будущей и текущей суммами называют дисконтом

.

Пример 1. Кредит выдается под простую ставку 26 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, полученную заемщиком и дисконт (сумма процентных денег), если требуется вернуть 40 млн денежных единиц.

Решение. (ден. ед.);

Тогда разность между будущей и текущей суммами будет равна: (ден.ед).

Ответ. Сумма, полученная заемщиком, составит 33 955 857 денежных единиц, сумма процентных денег – 6 044 142 денежные единицы.

Пример 2. Через 60 дней после займа Иванов выплатил ровно 10 000 денежных единиц. Сколько было занято, если 10 000 денежных единиц включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12 %?

Решение. Даны FV= 10 000, r= 0, 12, n= 60/360=1/6. Воспользуемся формулой , откуда PV= = 10 000/(1+0, 02)=9 803, 9 (ден. ед.)

Ответ. Сумма займа составляет 9 803, 9 денежной единицы.

1.3. Коммерческое дисконтирование или банковский учет (PV по d)

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита или ссуды.

Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Определение 1.3.1. Дисконт – это доход, получаемый по учетной ставке, т.е. разницы между размером кредита и непосредственно выданной суммы.

Введем обозначения:

– относительная величина учетной ставки;

– сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

– сумма, которая должна быть возвращена заемщиком в будущем.

Тогда учетная ставка вычисляется следующим образом:

пусть , , тогда . Отсюда и

Общая сумма процентных денег за весь период будет вычисляться по формуле:

Сумма, получаемая заемщиком вычисляется, как разность между суммой, которая должна быть возвращена () и будущей суммой процентных денег (), то есть

таким образом, или

или

Таким образом, получили основные формулы дисконтирования по учетной ставке.

При дисконтировании по учетной ставке, чаще всего используют временную базу или .

Пример 1. Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20 %. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и дисконт , если требуется вернуть 30 млн денежных единиц.

Решение. Воспользуемся формулами:

Ответ. Сумма, полученная заемщиком, составит 27 000 000 денежных единиц, сумма процентных денег – 3 000 000 денежных единиц.

1.4. Наращение по простой учетной ставке (FV по d)

Учетная ставка иногда применяется и для наращения по простым процентам. Необходимость в таком наращении возникает при определении будущей суммы контракта, формула для определения будущей величины будет иметь вид:

Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая простой процентной ставки , простые учетные ставки не могут принимать любые значения, так как чтобы последняя формула имела смысл необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части был строго больше нуля.

,

где – число периодов.

1.5. Определение величины простой процентной ставки и срока проведения операции (r, d, n)

Величина процентной ставки или учетной ставки может быть определена из полученных ранее формул, а именно:

Срок операции для простой процентной ставки , определим аналогично:

, .

Срок операции для учетной процентной ставки :

, .

Формулы для решения прямой и обратной задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым процентным ставкам запишем в таблицу 1.5.1.

Таблица 1.5.1.

Ставки	Прямая задача	Обратная задача

Пример 1. Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 денежных единиц вырастет до 40 000 000 денежных единиц, если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Решение. Воспользуемся формулой , тогда

Ответ. Период начисления равен 2, 14 года.

Пример 2. Определите простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 000 денежных единиц достигнет 30 000 000 денежных единиц через год.

Решение. Воспользуемся формулой , тогда

Ответ. Процентная ставка составит 25 %.

Пример 3. Кредит в размере 40 000 000 денежных единиц выдается по простой учетной ставке 25 % годовых. Определить срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 денежных единиц.

Решение. Воспользуемся формулой , тогда

.

Ответ. Срок предоставления кредита равен 0, 5 года.

Пример 4. Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 000 000 денежных единиц, если сумма в 10 000 000 денежных единиц выдается сразу на 6 месяцев.

Решение. Воспользуемся формулой , тогда

Ответ. Учетная процентная ставка равна 20 %.

Пример 5. Вексель на 10 175 денежных единиц, погашаемый через 90 дней, продан банку, который установил 7 % процентную ставку простого процента при дисконтировании. Какой будет выручка?

Замечание. Оформление денежных отношений между партнерами финансовой сделки может производиться при помощи ВЕКСЕЛЕЙ (расписок), которые, по существу, являются письменными обязательствами заплатить определенную сумму денег в установленный срок.

Когда вексель покупается до даты его погашения, цена PV, которую инвестор будет платить, определяется следующим образом: .

Решение. Здесь FV= 10 175 ден. ед., n= 90/360 = 1/4, r= 0, 07, используя формулу FV=PV( 1 +r n), тогда (ден. ед.).

Ответ. Выручка составит 10 000 денежных единиц.

Пример 6. Иванов намеревается получить ссуду в сберегательном банке на 120 дней. Если банк начисляет 7% по учетной ставке, какую сумму должен просить Иванов, что бы получить на руки 100 000 денежных единиц?

Решение. Нужно определить FV. Здесь PV= 100 000, n= 120/360=1/3, d= 0, 07. Используя формулу PV=FV( 1 -dn), получим

FV = (ден. ед.).

Ответ. Ссуда должна составлять 102 389, 07 денежной единицы.