Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Некоторые теоремы о параллельности и перпендикулярности в пространстве.






Теорема 9. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.  

M
α
b
a

 

 

Теорема 10. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.  
b
c
a
α

 

Теорема 11. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

α
β
b
a

Теорема 12. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
b
α
a

Теорема 13. Если каждая из двух пересекающихся плоскостей проходит через одну из двух параллельных прямых, то прямая пересечения плоскостей параллельна этим прямым.

α
с
β
a
b

Теорема 14. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Теорема 15. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Теорема 16. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую.

M
α
a
β

Теорема 17. Через точку, не лежащую на плоскости, можно провести одну и только одну плоскость, параллельную данной плоскости.

Теорема 18. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскостью.
b
α
a

Теорема 19. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то эти прямые параллельны.

Теорема 20. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Теорема 21. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Теорема 22. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 23. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то эти плоскости параллельны.

 

Вопросы и задачи

 

 


666. Отметьте верные утверждения

а) если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

б) если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, параллельной этой плоскости.

в) прямая, перпендикулярная каким-нибудь двум прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

г) прямая, пересекающая круг в центре и перпендикулярная его диаметру, перпендикулярна плоскости круга.

д) прямая, пересекающая круг в центре и перпендикулярная двум его радиусам, перпендикулярна плоскости круга.

е) прямая, перпендикулярная двум не параллельным хордам круга, перпендикулярна его плоскости.

 

667. Отметьте верные утверждения

а) если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

б) если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

в) если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

г) если две прямые, перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

 

668. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка М – середина ребра B1C1, N – середина C1D1, K – середина DC, О – точка пересечения диагоналей основания ABCD. Найдите угол между следующими прямыми:

а) АA1 и CС1; б) A1C1 и B1D1; в) A1C1 и C1D1;

г) A1М и CC1; д) A1D и DC1; е)A1C1 и BD;

ё) A1C и АС; ж) A1B и D1С; з) A1C и ВB1;

и) A1D и АВ; й) A1М и ВС; к) A1М и ВК;

л) C1К и B1N; м) C1О и AB1; н) A1О и B1D.

669. Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD, если:

а) ∠ АОВ = 40°; б) ∠ АОВ = 135°; в) ∠ АОВ = 90°.

670. Прямая a параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD – скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.

671. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними; б) m и AD - скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если угол АВС равен 128°.

672. Рёбра основания прямоугольного параллелепипеда имеют длину 4 см и 3 см, высота параллелепипеда равна 5 см. Определите угол между диагональю и плоскостью основания параллелепипеда.

673. В правильной четырёхугольной пирамиде боковые рёбра наклонены к основанию под углом 30°. Высота пирамиды 5 см. Найдите длины рёбер пирамиды.

674. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите длину образующей, если высота конуса 2 см.

675. Прямая КВ перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника АВС. ВК = АВ, М - середина АС. Определите угол между прямой и плоскостью и найдите его величину:

а) КА и АВС; б) КМ и АВС; в) АС и ВМК;

г) АВ и ВМК; д) АС и АВК; е) ВМ и АВК;

ё) АК и ВМК; ж) ВК и АКС; з) ВМ и АКС.

676. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка М – середина B1C1, N – середина D1С1, К – середина DC, О – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Определите угол между прямой и плоскостью и найдите его величину:

а) AB1 и АВС; б) АС и АA1В; в) MN и DD1C;

г) MN и DD1B; д) АМ и АВС; е) АС и MKN;

ё) АК и МКN; ж) АC1 и ВСC1; з) DC1 и АСC1;

и) В1D и АСC1; й) АА1 и AMN; к) DD1 и AMN.

677. MABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой квадрат ABCD. МD перпендикулярно плоскости АВС, MD = AB, O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Определите угол между прямой и плоскостью и найдите его величину:

а) МС и АВС; б) МВ и АВС; в) МА и АВС;

г) МО и АВС; д) АС и МDС; е) АD и MDC;

ё) АВ и MDC; ж) АС и ОАМ; з) АО и ВСМ.

678. Дана треугольная пирамида МАВС, все рёбра которой равны а. О – центр основания АВС. МО перпендикулярно плоскости основания. N – середина ВС. Определите угол между прямой и плоскостью и найдите его величину:

а) МС и АВС; б) MN и АВС; в) СВ и AMN;

г) СА и AMN; д) ОС и AMN; е) СМ и AMN;

ё) ОМ и МВС; ж) AN и МВС.

679. Расстояние от точки до каждой из двух параллельных плоскостей равно 6. Найдите расстояние между данными плоскостями.

680. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8. Точка удалена от одной из этих плоскостей на 3. На какое расстояние эта точка удалена от второй плоскости?.

681. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 5. Точка удалена от одной из этих плоскостей на 10. На какое расстояние эта точка удалена от второй плоскости?

682. Расстояния от точки до каждой из двух параллельных плоскостей равны соответственно 3 и 7. Найдите расстояние между этими плоскостями.

683. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами, равными 15 и 20, проведён перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 16. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до гипотенузы.

684. Стороны треугольника равны 51, 30 и 27. Из вершины меньшего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр длиной 10. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до противоположной стороны треугольника.

685. Диагонали ромба равны 60 и 80. В точке пересечения диагоналей к плоскости ромба проведён перпендикуляр длиной 45. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до стороны ромба.

686. Точка М находится на расстоянии 11 см от каждой стороны равнобедренной трапеции с основаниями, равными 16 см и 30 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.

687. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 45° к плоскости, а их проекции составляют между собой угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.

688. На грани двугранного угла, равного 60°, дана точка, удалённая от ребра на расстояние m. Найдите расстояние от этой точки до другой грани.

689. Внутри двугранного угла, равного 120°, дана точка М, удалённая от каждой из граней на расстояние m. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

690. Выразите диагональ d куба через его ребро a.

691. Найдите расстояние от вершины куба со стороной а до его диагонали.

692. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.

693. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. KD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD; б) расстояние между АК и CD.

694. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.

695. Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.

696. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2 см.

697. Один из катетов прямоугольного треугольника АВС равен m, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен φ. Через вершину прямого угла С проведена прямая СD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

698. Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, угол ВАD равен 60°, ВМ = 12, 5 см.

699. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка М делит ребро АВ на отрезки АМ = 3 и ВМ = 5. Найдите расстояние от точки М до плоскостей:

а) ADA1 б) ВСB1; в) A1B1C1; г) DCC1.

700. SABC – тетраэдр. Ребро SA перпендикулярно плоскости АВС, АВ перпендикулярно АС, АВ = АС = 1, SA = 2. Найдите расстояние от точки S до прямой ВС.

701. SABC – тетраэдр. Ребро SA перпендикулярно плоскости АВС, АВ = АС = 10, ВС = 16, SA = 8. Найдите расстояние от точки S до прямой ВС.

702. К плоскости прямоугольника ABCD через его вершину В проведен перпендикуляр ВР. Найдите расстояния от точки Р до сторон прямоугольника, если они равны 4 см и 5 см, а ВР равно 3 см.

703. К плоскости ромба ABCD из вершины его тупого угла В проведён перпендикуляр ВР, равный 3 см. Найдите расстояние от точки Р до сторон ромба, если их длина 4 см, а угол В равен 120°.

704. К плоскости ромба из точки О пересечения его диагоналей проведён перпендикуляр ОР, равный 3 см. Найдите расстояние от точки Р до сторон ромба, если диагонали ромба равны 6 см и 8 см.

705. Прямая АК перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD. Докажите, что: а) KD перпендикулярна CD; б) ВС перпендикулярна ВК; в) КС перпендикулярна BD.

706. Прямая АК перпендикулярна к плоскости параллелограмма ABCD. KD перпендикулярна BD. Докажите, что ABCD – ромб.

707. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости треугольника АМС, а прямая ВС перпендикулярна АС. Докажите, что треугольник АМС – прямоугольный и укажите его прямой угол.

708. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости треугольника АМС, а прямая ВК перпендикулярна прямой АС. Точка К – середина отрезка АС. Докажите, что треугольник АМС – равнобедренный и укажите его равные углы.

709. SABC – правильный тетраэдр. Точка М – середина ребра SA. Докажите, что угол ВМС – линейный угол двугранного угла между плоскостями SBA и SCA.

710. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, такой, что ABCD – прямоугольник, AA1 = A1B. Точка М – середина ребра АВ, О – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Докажите, что угол ОМA1 – линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и A1ВА.

711. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка М – середина ребра D1С1. Укажите взаимное расположение плоскостей и найдите угол между ними:

а) A1BА и D1СD; б) A1B1C1 и DD1С; в) A1BD и B1D1С;

г) B1АС и ADC; д) A1BD и C1DВ; е) A1BD и СC1А;

ё) АB1C1 и ADC; ж) A1МА и B1C1С; з) A1МА и ВB1D;

и) МA1D и СA1D.

712. В правильной пирамиде SABC высота SM равна 3, сторона основания АВ равна 18. Найдите угол между боковой гранью и основанием.

713. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро АВ равно 2, ребро АA1 равно 4. Найдите тангенс угла наклона диагонального сечения AB1C1D к основанию.

714. SABCD – правильная четырёхугольная пирамиды, в которой сторона основания равна 2, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите высоту пирамиды.

715. Точка А лежит на одной из граней двугранного угла, равного 30°, и удалена от ребра двугранного угла на 8. Найдите расстояние от точки А до плоскости второй грани двугранного угла.

716. Точки А и В лежат на разных гранях двугранного угла. Прямая АВ перпендикулярна ребру двугранного угла, а точки А и В удалены от этого ребра соответственно на 3 и 4. Найдите величину двугранного угла, если АВ = 5. 90°

717. Точки А и В лежат на разных гранях двугранного угла, величина которого равна 60°. А1 и В1 – проекции точек А и В на ребро двугранного угла. АА1 = А1В1 = ВВ1 = 2. Найдите длину отрезка АВ.

718. Точка А лежит внутри острого двугранного угла величины α и удалена от граней на расстояние h. Найдите расстояние от А до ребра этого угла.

719. Точка А лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на расстояния 1 и , а от ребра на 2. Найдите величину двугранного угла.

720. Точка А лежит внутри двугранного угла. Угол между перпендикулярами, опущенными из А на его грани, равен 131°. Найдите величину двугранного угла.


 

Глава 8. Многогранники.

 

 


Определение. Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Тело, ограниченное многогранником, также называют многогранником.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются его рёбрами, а концы рёбер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Определение. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани (известные нам тетраэдр, пирамиды, параллелепипед и т.п. – выпуклые многогранники).

Подробно рассмотрим два вида выпуклых многогранников: призмы и пирамиды.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.